OpenAGH e-podręczniki | Funkcjonały

Funkcjonały

Niech \( \hskip 0.3pc X\hskip 0.3pc \) będzie przestrzenią Banacha. Odwzorowanie \( \hskip 0.3pc \varphi :X\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) nazywamy funkcjonałem.

Definicja 1: Minimum.

Mówimy, że funkcjonał \( \hskip 0.3pc \varphi :X\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) posiada w punkcie \( \hskip 0.3pc x_0\in X\hskip 0.3pc \) minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie \( \hskip 0.3pc V\hskip 0.3pc \) punktu \( \hskip 0.3pc x_0\hskip 0.3pc \) takie, że

\( \varphi (x_0)\leq \varphi (x),\qquad {\rm dla }\quad x\in V. \)

Jeśli

\( \varphi (x_0) < \varphi (x),\qquad {\rm dla }\quad x\in V,\hskip 0.3pcx\neq x_0, \)

mówimy, że w punkie \( \hskip 0.3pc x_0\hskip 0.3pc \) istnieje minimum lokalne silne.
Zmieniając kierunek znaku otrzymamy definicje maksimum lokalnego i silnego maksimum lokalnego.

Zauważmy, że rozwiązanie problemów sformułowanych w module wprowadzenie do rachunku wariacyjnego polega na znalezieniu ekstremum stosownych funkcjonałów.
W zależności od rozważanego problemu, a zatem postaci funkcjonału \( \hskip 0.3pc \varphi, \hskip 0.3pc \) należy odpowiednio dobrać przestrzeń funkcyjną \( \hskip 0.3pc X,\hskip 0.3pc \) ewentualnie jej podzbiór, na którym szukamy ekstremum. Najczęściej spotykane przestrzenie to:

(i) \( \hskip 0.3pc C\big([a,b], \mathbb R\big)\hskip 0.3pc \) - przestrzeń funkcji ciągłych na \( \hskip 0.3pc [a,b]\hskip 0.3pc \) o wartościach w \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \) z normą jednostajnej zbieżności

\( \|x\|=\displaystyle\max_{t\in [a,b]}|x(t)|; \)

(ii) \( \hskip 0.3pc C^1\big([a,b], \mathbb R\big)\hskip 0.3pc \) - przestrzeń funkcji określonych na \( \hskip 0.3pc [a,b]\hskip 0.3pc \) o wartościach w \( \hskip 0.3pc \mathbb R,\hskip 0.3pc \) posiadających ciągłą pochodną, z normą

\( \|x\|_1= \displaystyle\max_{t\in [a,b]}|x(t)|+ \max_{t\in [a,b]}|x^\prime(t)|=\|x\|+\|x^\prime\|; \)

(iii) \( \hskip 0.3pc C^1\big([a,b], \mathbb R^n\big)\hskip 0.3pc \) - przestrzeń funkcji określonych na \( \hskip 0.3pc [a,b]\hskip 0.3pc \) o wartościach w \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n,\hskip 0.3pc \) posiadających ciągłą pochodną, z normą

\( \|x\|_1= \displaystyle\sum_{i=1}^n\big(\|x_i\|+\|x_i^\prime\|\big); \)

(iv) \( \hskip 0.3pc PC\big([a,b], \mathbb R\big)\hskip 0.3pc \) - przestrzeń funkcji kawałkami ciągłych na \( \hskip 0.3pc [a,b]\hskip 0.3pc \) o wartościach w \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \) z normą jednostajnej zbieżności. (Funkcje \( \hskip 0.3pc f:[a,b]\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) nazywamy kawałkami ciągłą, jeśli istnieje podział \( \hskip 0.3pc a=x_0 <x_1< \ldots <x_m=b\hskip 0.3pc \) przedziału \( \hskip 0.3pc [a,b]\hskip 0.3pc \) taki, że na każdym podprzedziale \( \hskip 0.3pc (x_{i-1},x_i)\hskip 0.3pc \) funkcja \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest ciągła).

(v) \( \hskip 0.3pc PC^1\big([a,b], \mathbb R\big)\hskip 0.3pc \) - przestrzeń funkcji kawałkami różniczkowalnych na \( \hskip 0.3pc [a,b]\hskip 0.3pc \) o wartościach w \( \hskip 0.3pc \mathbb R,\hskip 0.3pc \) z normą

\( \|x\|_1= \|x\|+\|x^\prime\|. \)

W dalszym ciągu przestrzenie \( \hskip 0.3pc C\big([a,b], \mathbb R\big)\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc C^1\big([a,b], \mathbb R\big)\hskip 0.3pc \) będziemy oznaczać zwykle symbolami \( \hskip 0.3pc C\big([a,b]\big)\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc C^1\big([a,b]\big)\hskip 0.3pc \)

Definicja 2: Różniczki funkcjonału.

Niech \( \hskip 0.3pc x\in X.\hskip 0.3pc \) Odwzorowanie liniowe \( \hskip 0.3pc L(x) :X\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) takie, że

\( \displaystyle\lim_{\|h\| \to 0}\dfrac{\varphi (x+h)-\varphi (x)-L(x)(h)}{\|h\|}=0, \)

nazywamy różniczką funkcjonału \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) w punkcie \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) i oznaczamy symbolem \( \hskip 0.3pc d\varphi (x)\hskip 0.3pc \) lub \( \hskip 0.3pc \varphi ^\prime(x).\hskip 0.3pc \)

Uwaga 1:

Jeśli funkcjonał \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) posiada w punkcie \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) różniczkę, to

\( \varphi (x+h)=\varphi (x)+d\varphi (x)(h)+o(h), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc o\hskip 0.3pc \) jest odwzorowaniem \( \hskip 0.3pc X\hskip 0.3pc \) w \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \) spełniającym warunek

\( \displaystyle\lim_{\|h\|\to 0}\dfrac {o(h)}{\|h\|}=0. \)

Twierdzenie 1: Warunek konieczny istnienia ekstremum.

ZAŁOŻENIA:

Zakładamy, że funkcjonał \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) posiada w punkcie \( \hskip 0.3pc x_0\hskip 0.3pc \) minimum lub maksimum lokalne i ponadto posiada w tym punkcie różniczkę.

TEZA:

Wtedy różniczka tego funkcjonału w tym punkcie jest równa zero.

DOWÓD:

Przypuśćmy, że funkcjonał \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) posiada w punkcie \( \hskip 0.3pc x_0 \hskip 0.3pc \) minimum lokalne, czyli

\( \varphi (x_0)\leq \varphi (x)\qquad {\rm dla}\quad x \in V, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc V\hskip 0.3pc \) jest stosownie dobranym otoczeniem punktu \( \hskip 0.3pc x_0.\hskip 0.3pc \)
Jeśli funkcjonał \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) osiąga w punkcie \( \hskip 0.3pc x_0\hskip 0.3pc \) minimum lokalne i ponadto posiada w tym punkcie róźniczkę to

\( 0 \leq \varphi (x_0+h) -\varphi (x_0)= d\varphi (x_0)(h)+o(h)\qquad {\rm dla}\quad x_0+h \in V. \)

Niech \( \hskip 0.3pc \tilde h\in X.\hskip 0.3pc \) Ustalmy \( \hskip 0.3pc t _0 >0\hskip 0.3pc \) tak aby \( \hskip 0.3pc x_0+ t \tilde h\in V\hskip 0.3pc \) dla dowolnego \( \hskip 0.3pc t \in [0, t _0].\hskip 0.3pc \) Zgodnie z definicją minimum i uwagą 1 mamy

\( d\varphi (x_0 )(t \tilde h) +o(t\tilde h)\geq 0. \)

Stąd

\( t d\varphi (x_0 )( \tilde h) \geq -o(t \tilde h),\qquad t \in (0,t_0). \)

W konsekwencji

\( {d\varphi (x_0 )( \tilde h)} \geq -\dfrac{o(t \tilde h)}{\|t\tilde h\|} {\|\tilde h\|} ,\qquad t \in (0,t_0). \)

Przechodząc z \( \hskip 0.3pc t \to 0\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( d\varphi (x_0 )( \tilde h)\geq 0. \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc \tilde h\hskip 0.3pc \) było ustalone dowolnie, również

\( d\varphi (x_0 )( -\tilde h)\geq 0. \)

Z ostatnich dwóch nierówności oraz faktu że \( \hskip 0.3pc d\varphi (x_0 )(- \tilde h)= -d\varphi (x_0 )( \tilde h)\hskip 0.3pc \)

wynika natychmiast, że \( \hskip 0.3pc d\varphi (x_0 )( \tilde h)= 0.\hskip 0.3pc \) Ponieważ \( \hskip 0.3pc \tilde h\in X\hskip 0.3pc \) było dowolne, więc \( \hskip 0.3pc d\varphi (x_0 )= 0,\hskip 0.3pc \) co kończy dowód twierdzenia.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka