Rozwiązanie:
Skorzystamy z Kryterium Dirichleta, w którym \( a_n=\frac{1}{n} \) i \( b_n=e^{-n} \).
Ciąg \( (a_n) \) jest malejący i \( \lim_{n\to \infty}{a_n}=0 \) oraz \( |S_n|=\left|\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\dots +\frac{1}{e^n}\right|=\left|\frac{1}{e}\cdot \frac{1-\frac{1}{e^n}}{1-\frac{1}{e}}\right| < \frac{1}{e-1} \), czyli ciąg \( (S_n) \) jest ograniczony.

Rozwiaznie:
Skorzystamy z Kryterium Dirichleta oraz ze wzoru \( \sum_{i=1}^n{\sin{(ix)}}=\frac{\cos{\frac{x}{2}}-\cos{\frac{(2n+1)x}{2}}}{2\sin{\frac{x}{2}}} \).
Niech \( a_n=\frac{1}{\sqrt{n}} \) i \( b_n=\sin{\frac{n\pi}{3}} \).
Ciąg \( (a_n) \) jest malejący i \( \lim_{n\to \infty}{a_n}=0 \) oraz \( |S_n|=\left|\sum_{i=1}^n{\sin{(i\frac{\pi}{3})}}\right|=\left|\frac{\cos{\frac{\pi}{6}}-\cos{\frac{(2n+1)\pi}{6}}}{2\sin{\frac{\pi}{6}}}\right|=\left|2\sin{(n+1)\frac{\pi}{3}}\sin{n\frac{\pi}{3}}\right| < 2 \), czyli ciąg \( (S_n) \) jest ograniczony.

Rozwiązanie:
Zastosujemy Kryterium Abela, w którym \( a_n=\frac{1}{n^2} \) i \( b_n=\sin{\frac{1}{n}} \).
Szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} \) jest szeregiem harmonicznym zbieżnym oraz ciąg \( (b_n) \) jest malejący i \( \lim_{n\to \infty}{b_n}=0 \), co implikuje ograniczoność ciągu \( (b_n) \).

Rozwiązanie:
Zastosujemy Kryterium Abela, gdzie \( a_n=\frac{n}{3^n} \) i \( b_n=\frac{1}{1-3^{2n}} \).
Szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} \) jest szeregiem o wyrazach nieujemnych, zbieznym z kryterium Cauchy'ego, bo \( \lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{\frac{n}{3^n}}}=\frac{1}{3} < 1 \).
Ciąg \( (b_n) \) jest rosnący i \( \lim_{n\to \infty}{b_n}=0 \), co implikuje ograniczoność ciągu \( (b_n) \).
Zatem z kryterium Abela szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n}{3^n\left(1-3^{2n}\right)}} \) jest zbieżny.