Loading...
 

Podstawowe funkcje elementarne

Definicja 1: Podstawowe funkcje elementarne


Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy następujące funkcje: funkcję identycznościową, \( y=x \), funkcję stałą \( y=const \), funkcję wykładniczą \( y=e^x \), funkcję trygonometryczną \( y=sin x \).

Definicja 2: Funkcje elementarne


Funkcjami elementarnymi nazywamy wszystkie funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji składania i odwracania funkcji.

Przykład 1:


Pokażemy, że funkcja \( f(x)=\cos x+\log_5(2x^2+1) \) jest funkcją elementarną.

Rozwiązanie

Z funkcji \( f_1(x)={\pi\over 2}-x \) oraz \( f_2(x)=\sin x \), poprzez złożenie, otrzymamy funkcję \( g(x)=\cos x \). Faktycznie, \( (f_2\circ f_1)(x)=f_2({\pi\over 2}-x)=\sin({\pi\over 2}-x)=\cos x \).

Odwracając funkcję wykładniczą \( f_3(x)=e^x \) otrzymujemy funkcję logarytmiczną \( f_4(x)=\ln x \).

Z funkcji logarytmicznej \( f_4(x)=\ln x \) oraz funkcji stałej \( f_5(x)=\ln 5 \), poprzez dzielenie otrzymujemy funkcję logarytmiczną o podstawie \( 5 \), \( h(x)=\log_5x \), gdyż \( {{f_4(x)}\over{f_5(x)}}={\ln x\over \ln 5}=\log_5x \).

Z identyczności \( f_6(x)=x \) i funkcji stałych \( f_7(x)=2 \), \( f_8(x)=1 \) otrzymujemy funkcję kwadratową \( l(x) \), \( f_7(x)\cdot[f_6(x)]^2+f_8(x)=2x^2+1=l(x) \).

Funkcję \( f \) można więc przedstawić następująco \( f=g+h\circ l \) czyli \( f \) jest funkcją elementarną.

Definicja 3: Wielomian


Wielomianem stopnia \( n \) nazywamy funkcje \( W:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem \( W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 \) gdzie \( n \) jest liczbą naturalną lub zerem, zaś współczynniki \( a_i \) dla \( i=0,1,\ldots,n \) są stałymi, przy czym \( a_n\neq 0 \).

Przyjmujemy, że funkcja tożsamościowo równa zeru \( W(x)=0 \) jest wielomianem stopnia \( -\infty \).

Uwaga 1:


Każdy wielomian możemy otrzymać za pomocą działań arytmetycznych z funkcji stałych i identyczności

Definicja 4: Funkcja wymierna


Funkcją wymierną nazywamy funkcję, którą można zapisać za pomocą ilorazu dwóch wielomianów.

Uwaga 2:


Dziedziną naturalną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych z wykluczeniem miejsc zerowych mianownika.

Definicja 5: Funkcja wykładnicza


Niech \( a>0 \) i \( a\neq 1 \). Funkcją wykładniczą o podstawie \( a \) nazywamy funkcję \( f:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem \( f(x)=a^x \). Dziedziną funkcji wykładniczej jest \( \mathbb R \), zbiorem wartości \( \mathbb R_+ \).

Funkcja wykładnicza o podstawie \( a>1 \) jest rosnąca, natomiast o podstawie \( 0<a<1 \) jest malejąca.

Wykresy funkcji wykładniczej
Rysunek 1: Wykresy funkcji wykładniczej

Uwaga 3: O funkcjach wykładniczych


Ponieważ \( a^0=1 \) oraz \( a^1=a \), więc wykres każdej funkcji wykładniczej postaci \( y=a^x \) przechodzi przez dwa punkty charakterystyczne \( (0, 1) \) oraz \( (1, a) \).

Z faktu, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych \( x_1,x_2\in\mathbb R \) zachodzi \( a^{x_1+x_2}=a^{x_1}a^{a_2} \) wynika ważna własność funkcji wykładniczej: \( f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2) \). Szczególną rolę w zastosowaniach odgrywa funkcja wykładnicza o podstawie \( e \), gdzie \( e \) jest liczbą niewymierną w przybliżeniu równą \( 2.7 \), definiowaną poprzez granicę \( e=\lim\limits_{n\to\infty}(1+{1\over n})^n \). Funkcja \( f(x)=e^x \) nazywa się funkcją eksponencjalną i jest oznaczaną przez \( exp \), gdzie \( \exp x=e^x \).

Wykres funkcji {OPENAGHMATHJAX()}\exp x{OPENAGHMATHJAX}
Rysunek 2: Wykres funkcji \( \exp x \)

Definicja 6: Funkcja logarytmiczna


Niech \( a>0 \) i \( a\neq 1 \). Funkcją logarytmiczną o podstawie \( a \) nazywamy funkcję \( f:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem \( f(x)=\log_ax \). Dziedziną funkcji logarytmicznej jest \( \mathbb R_+ \), zbiorem wartości \( \mathbb R \)

Funkcja logarytmiczna o podstawie \( a>1 \) jest rosnąca, natomiast o podstawie \( 0<a<1 \) jest malejąca.


Wykresy funkcji logarytmicznej
Rysunek 3: Wykresy funkcji logarytmicznej

Uwaga 4: O funkcjach logarytmicznych


Ponieważ \( \log_a1=0 \) oraz \( \log_aa=1 \), więc wykres funkcji logarytmicznej \( y=\log_ax \) przechodzi przez dwa punkty charakterystyczne \( (1, 0) \) oraz \( (a, 1) \).

Z faktu, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych \( x_1,x_2\in\mathbb R \) zachodzi \( \log_a(x_1\cdot x_2)=\log_ax_1+\log_ax_2 \) wynika ważna własność funkcji logarytmicznej: \( f(x_1\cdot x_2)=f(x_1)+f(x_2) \). Szczególną rolę w zastosowaniach odgrywa funkcja logarytmiczna o podstawie \( e \), gdzie \( e \) jest stałą Eulera opisaną przy definicji funkcji wykładniczej. Funkcja \( f(x)=\log_ex \) nazywa się logarytmem naturalnym i jest oznaczana przez \( \ln \), czyli \( \ln x=\log_ex \).

Wykres funkcji {OPENAGHMATHJAX()}\ln x{OPENAGHMATHJAX}
Rysunek 4: Wykres funkcji \( \ln x \)


Funkcję logarytmiczną o podstawie \( 10 \) nazywamy logarytmem dziesiętnym i oznaczamy przez \( log \), czyli \( \log x=\log_{10}x \).

Funkcję logarytmiczna o dowolnej podstawie można zawsze przedstawić jako iloraz funkcji logarytmicznej o podstawie \( e \) przez stałą \( \ln a \), bo \( \log_ax={\ln x \over \ln a} \).

Funkcja logarytmiczna o podstawie \( a \) jest odwrotna do funkcji wykładniczej o tej samej podstawie, skąd można wyprowadzić wiele własności i związków pomiędzy tymi funkcjami – np. fakt, że wykres funkcji logarytmicznej o podstawie \( a \) jest symetryczny względem diagonali do wykresu funkcji wykładniczej o tej samej podstawie.




Ostatnio zmieniona Środa 04 z Listopad, 2015 14:23:22 UTC Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Zaloguj się/Zarejestruj w OPEN AGH e-podręczniki
Czy masz już hasło?

Hasło powinno mieć przynajmniej 8 znaków, litery i cyfry oraz co najmniej jeden znak specjalny.

Przypominanie hasła

Wprowadź swój adres e-mail, abyśmy mogli przesłać Ci informację o nowym haśle.
Dziękujemy za rejestrację!
Na wskazany w rejestracji adres został wysłany e-mail z linkiem aktywacyjnym.
Wprowadzone hasło/login są błędne.