Podstawowe funkcje elementarne
Definicja 1: Podstawowe funkcje elementarne
Definicja 2: Funkcje elementarne
Przykład 1:
Pokażemy, że funkcja \( f(x)=\cos x+\log_5(2x^2+1) \) jest funkcją elementarną.
Rozwiązanie
Z funkcji \( f_1(x)={\pi\over 2}-x \) oraz \( f_2(x)=\sin x \), poprzez złożenie, otrzymamy funkcję \( g(x)=\cos x \). Faktycznie, \( (f_2\circ f_1)(x)=f_2({\pi\over 2}-x)=\sin({\pi\over 2}-x)=\cos x \).
Odwracając funkcję wykładniczą \( f_3(x)=e^x \) otrzymujemy funkcję logarytmiczną \( f_4(x)=\ln x \).
Z funkcji logarytmicznej \( f_4(x)=\ln x \) oraz funkcji stałej \( f_5(x)=\ln 5 \), poprzez dzielenie otrzymujemy funkcję logarytmiczną o podstawie \( 5 \), \( h(x)=\log_5x \), gdyż \( {{f_4(x)}\over{f_5(x)}}={\ln x\over \ln 5}=\log_5x \).
Z identyczności \( f_6(x)=x \) i funkcji stałych \( f_7(x)=2 \), \( f_8(x)=1 \) otrzymujemy funkcję kwadratową \( l(x) \), \( f_7(x)\cdot[f_6(x)]^2+f_8(x)=2x^2+1=l(x) \).
Funkcję \( f \) można więc przedstawić następująco \( f=g+h\circ l \) czyli \( f \) jest funkcją elementarną.
Definicja 3: Wielomian
Wielomianem stopnia \( n \) nazywamy funkcje \( W:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem \( W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 \) gdzie \( n \) jest liczbą naturalną lub zerem, zaś współczynniki \( a_i \) dla \( i=0,1,\ldots,n \) są stałymi, przy czym \( a_n\neq 0 \).
Przyjmujemy, że funkcja tożsamościowo równa zeru \( W(x)=0 \) jest wielomianem stopnia \( -\infty \).
Uwaga 1:
Definicja 4: Funkcja wymierna
Uwaga 2:
Definicja 5: Funkcja wykładnicza
Niech \( a>0 \) i \( a\neq 1 \). Funkcją wykładniczą o podstawie \( a \) nazywamy funkcję \( f:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem \( f(x)=a^x \). Dziedziną funkcji wykładniczej jest \( \mathbb R \), zbiorem wartości \( \mathbb R_+ \).
Funkcja wykładnicza o podstawie \( a>1 \) jest rosnąca, natomiast o podstawie \( 0<a<1 \) jest malejąca.
Uwaga 3: O funkcjach wykładniczych
Ponieważ \( a^0=1 \) oraz \( a^1=a \), więc wykres każdej funkcji wykładniczej postaci \( y=a^x \) przechodzi przez dwa punkty charakterystyczne \( (0, 1) \) oraz \( (1, a) \).
Z faktu, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych \( x_1,x_2\in\mathbb R \) zachodzi \( a^{x_1+x_2}=a^{x_1}a^{a_2} \) wynika ważna własność funkcji wykładniczej: \( f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2) \). Szczególną rolę w zastosowaniach odgrywa funkcja wykładnicza o podstawie \( e \), gdzie \( e \) jest liczbą niewymierną w przybliżeniu równą \( 2.7 \), definiowaną poprzez granicę \( e=\lim\limits_{n\to\infty}(1+{1\over n})^n \). Funkcja \( f(x)=e^x \) nazywa się funkcją eksponencjalną i jest oznaczaną przez \( exp \), gdzie \( \exp x=e^x \).
Definicja 6: Funkcja logarytmiczna
Niech \( a>0 \) i \( a\neq 1 \). Funkcją logarytmiczną o podstawie \( a \) nazywamy funkcję \( f:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem \( f(x)=\log_ax \). Dziedziną funkcji logarytmicznej jest \( \mathbb R_+ \), zbiorem wartości \( \mathbb R \)
Funkcja logarytmiczna o podstawie \( a>1 \) jest rosnąca, natomiast o podstawie \( 0<a<1 \) jest malejąca.
Uwaga 4: O funkcjach logarytmicznych
Ponieważ \( \log_a1=0 \) oraz \( \log_aa=1 \), więc wykres funkcji logarytmicznej \( y=\log_ax \) przechodzi przez dwa punkty charakterystyczne \( (1, 0) \) oraz \( (a, 1) \).
Z faktu, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych \( x_1,x_2\in\mathbb R \) zachodzi \( \log_a(x_1\cdot x_2)=\log_ax_1+\log_ax_2 \) wynika ważna własność funkcji logarytmicznej: \( f(x_1\cdot x_2)=f(x_1)+f(x_2) \). Szczególną rolę w zastosowaniach odgrywa funkcja logarytmiczna o podstawie \( e \), gdzie \( e \) jest stałą Eulera opisaną przy definicji funkcji wykładniczej. Funkcja \( f(x)=\log_ex \) nazywa się logarytmem naturalnym i jest oznaczana przez \( \ln \), czyli \( \ln x=\log_ex \).
Funkcję logarytmiczną o podstawie \( 10 \) nazywamy logarytmem dziesiętnym i oznaczamy przez \( log \), czyli \( \log x=\log_{10}x \).
Funkcję logarytmiczna o dowolnej podstawie można zawsze przedstawić jako iloraz funkcji logarytmicznej o podstawie \( e \) przez stałą \( \ln a \), bo \( \log_ax={\ln x \over \ln a} \).
Funkcja logarytmiczna o podstawie \( a \) jest odwrotna do funkcji wykładniczej o tej samej podstawie, skąd można wyprowadzić wiele własności i związków pomiędzy tymi funkcjami – np. fakt, że wykres funkcji logarytmicznej o podstawie \( a \) jest symetryczny względem diagonali do wykresu funkcji wykładniczej o tej samej podstawie.