Asymptota ukośna wykresu funkcji
Jeżeli prosta \( y=ax+b \) jest jednocześnie asymptotą ukośną lewo i prawostronną, to nazywamy ją asymptotą obustronną wykresu funkcji \( f(x) \).
Komentarz
Z definicji Asymptota ukośna prawostronna wynika, że wykres funkcji wraz ze wzrostem argumentów coraz bardziej zbliża się do asymptoty. Z definicji Asymptota ukośna lewostronna wynika, że wykres funkcji dla argumentów zmierzających do \( - \infty \) coraz bardziej zbliża się do asymptoty.
Zauważamy również, że asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, dlatego też, jeżeli okaże się, że istnieje asymptota pozioma lewo lub prawostronna wykresu funkcji, to nie badamy już istnienia asymptoty ukośnej.
Rys. 1 przedstawia wykres funkcji, dla którego prosta o równaniu \( y=-x+1/2 \) jest asymptotą ukośną lewostronną, a prosta o równaniu \( y=x-1/2 \) jest asymptotą ukośną prawostronną. Rzeczywiście dla ciągu argumentów zmierzających do \( -\infty \) różnica pomiędzy wartościami badanej funkcji, a wartościami funkcji liniowej \( y=-x+1/2 \) dąży do zera. Analogicznie dla ciągu argumentów zmierzających do \( +\infty \) różnica pomiędzy wartościami badanej funkcji, a wartościami funkcji liniowej \( y=x-1/2 \) dąży do zera.
Twierdzenie 1: o współczynnikach asymptoty ukośnej lewostronnej
Twierdzenie 2: o współczynnikach asymptoty ukośnej prawostronnej
Rozwiązanie:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji \( D_f= \mathbb{R} \setminus \{1\} \). Dziedzina funkcji jest zbiorem nieograniczonym od dołu i od góry.
Badamy, czy istnieje asymptota pozioma lewo i prawostronna wykresu funkcji
\( \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x}{x-1}= \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x}{x(1- \frac{1}{x})}= \lbrack \frac{1}{1-0} \rbrack =1, \hspace{4em} \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x}{x-1}= \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x}{x(1- \frac{1}{x})} =\lbrack \frac{1}{1-0} \rbrack =1. \)
Obydwie granice są właściwe, a zatem prosta \( y=1 \) jest asymptotą poziomą obustronną. Istnienie asymptoty poziomej obustronnej wyklucza istnienie innej asymptoty ukośnej.
Rozwiązanie:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji \( D_f=(- \infty,-1 \rbrack ∪ \lbrack 1, \infty) \), która jest zbiorem nieograniczonym od dołu i od góry.
Badamy istnienie asymptot poziomych lewo i prawostronnej
\( \lim_{x \rightarrow -\infty} \sqrt{x^2-1}=+ \infty \) i \( \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2-1}=+ \infty \).
Obydwie granice są niewłaściwe, a zatem nie istnieją asymptoty poziome.
Badamy istnienie asymptot ukośnych lewo i prawostronnej licząc odpowiednie granice
\( \lim_{x \rightarrow \infty} { \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}}= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}{x}=1 \) oraz
\( \lim_{x \rightarrow -\infty} { \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}}= \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{|x| \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}{x}= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}{x}=-1. \)
Widzimy zatem, że współczynnik kierunkowy a równy jest \( 1 \) dla asymptoty prawostronnej i \( -1 \) dla asymptoty lewostronnej. Obliczamy wartości współczynników \( b \) dla obydwu asymptot
\( \lim_{x \rightarrow \infty} (\sqrt{x^2-1}-x)= \lim_{x \rightarrow \infty} ( \sqrt{x^2-1}-x) \cdot \frac{\sqrt{x^2-1}+x}{\sqrt{x^2-1}+x}= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2-1-x^2}{\sqrt{x^2-1}+x}= \lbrack \frac{-1}{\infty} \rbrack =0 \) oraz \( \lim_{x \rightarrow -\infty} (\sqrt{x^2-1}+x)= \lim_{x \rightarrow -\infty}(\sqrt{x^2-1}+x) \cdot \frac{\sqrt{x^2-1}-x}{\sqrt{x^2-1}-x}= \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2-1-x^2}{\sqrt{x^2-1}-x}=\lbrack \frac{-1}{\infty} \rbrack =0. \)
Obydwie granice są właściwe, a zatem prosta \( y=x \) jest asymptotą ukośną prawostronną, a prosta \( y=-x \) jest asymptotą ukośną lewostronną.
Rozwiązanie:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji \( D_f=(- \infty,-3)∪(3,\infty) \), która jest zbiorem nieograniczonym od góry i od dołu.
Badamy, czy istnieją asymptoty poziome lewo i prawostronna licząc odpowiednie granice
\( \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x-3}{\sqrt{x^2-9}}= \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x(1- \frac{3}{x})}{x \sqrt{1- \frac{9}{x^2}}}=1 \) oraz
\( \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x-3}{\sqrt{x^2-9}}= \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x(1- \frac{3}{x})}{|x| \sqrt{1- \frac{9}{x^2}}}= \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x(1- \frac{3}{x})}{-x \sqrt{1- \frac{9}{x^2}}}=-1. \)
Obydwie granice są właściwe, a zatem prosta \( y=1 \) jest asymptotą poziomą prawostronną, a prosta \( y=-1 \) jest asymptotą poziomą lewostronną. Istnienie asymptot poziomych wyklucza istnienie innych asymptot ukośnych.
Rozwiązanie:
Wyznaczamy dziedzinę funkcji \( D_f=(0,\infty) \), która jest zbiorem nieograniczonym tylko od góry.
Badamy istnienie asymptoty poziomej prawostronnej (ze względu na postać dziedziny)
W celu obliczenia ostatniej granicy dokonujemy podstawienia \( y= \frac{x+1}{x} \) i wyznaczamy granicę \( \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x+1}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x(1+\frac{1}{x})}{x}=1 \). A zatem \( \lim_{x \rightarrow \infty} \ln \frac{x+1}{x}= \lim_{y \rightarrow 1} \ln y=0 \), czyli prosta \( y=0 \) jest asymptotą poziomą prawostronną. Istnienie asymptoty poziomej prawostronnej wyklucza istnienie innej asymptoty ukośnej.