Całki niewłaściwe
Właściwości całki ze względu na przedział całkowania (całka I rodzaju)
Przypomnijmy, że pojęcie całki oznaczonej Riemanna zostało przez nas zdefiniowane dla funkcji ograniczonej, określonej na przedziale domkniętym i ograniczonym. Ze względu na praktyczne zastosowania istnieje potrzeba rozszerzenia tego pojęcia na przypadek funkcji działającej na przedziale nieograniczonym lub funkcji nieograniczonej.
Na początek zdefiniujmy całkę niewłaściwą funkcji określonej na przedziale postaci \( [a,+\infty) \), następnie \( (-\infty,b] \), a dalej na całym zbiorze liczb rzeczywistych.
Definicja 1: Całka niewłaściwa Riemanna I rodzaju w przedziale \( [a,+\infty) \) lub \( (-\infty,b] \)
Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa \( \int_a^{+\infty} f(x)dx \) jest zbieżna, natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa \( \int_a^{+\infty} f(x)dx \) jest rozbieżna.
W analogiczny sposób definuje się całkę niewłaściwą Riemanna I rodzaju \( \int_{-\infty}^b f(x)dx \) funkcji \( f \) określonej na przedziale \( (-\infty,b] \), jak również pojęcia jej zbieżności i rozbieżności. Przyjmujemy wówczas, że
Definicja 2: Całka niewłaściwa Riemanna I rodzaju w zbiorze liczb rzeczywistych
Niech \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna w każdym przedziale domkniętym \( [\alpha,\beta] \) zawartym w \( \mathbb{R} \). Całkę niewłaściwą Riemanna I rodzaju funkcji \( f \) w \( \mathbb{R} \) definujemy jako
gdzie \( a \) jest dowolnie wybranym punktem z \( \mathbb{R} \). Jeżeli obie całki w powyższej sumie są zbieżne, to mówimy, że całka \( \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx \) jest zbieżna. Gdy któraś z tych całek nie istnieje lub jest rozbieżna, to mówimy, że całka \( \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx \) jest rozbieżna.
Należy podkreślić, że jeżeli całka \( \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx \) jest zbieżna, to można wykazać, że jej wartość nie zależy od wyboru punktu \( a \in \mathbb{R} \) w powyższej definicji.
Przykład 1:
a wykresem nieujemnej funkcji podcałkowej \( x \mapsto \frac{1}{x^2+1}. \)
Przykład ten pokazuje, że pole nieograniczonego obszaru na płaszczyźnie może być skończone.
Przykład 2:
Przy ustalonej liczbie \( a > 0 \) zbadajmy zbieżność całki \( \int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx \) w zależności od wartości parametru \( p \in \mathbb{R} \).
Przypadek 1. \( p \neq 1 \).
Zauważmy, że
a zatem
Przypadek 2. \( p = 1 \).
Reasumując, całka \( (\int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p}) \) jest zbieżna dla \( (p > 1) \), a rozbieżna dla \( (p \leq 1). \)
Niewłaściwość całki ze względu na funkcję podcałkową (całka II rodzaju)
Sformułujmy teraz definicję całki niewłaściwej funkcji nieograniczonej określonej na przedziale ograniczonym.
Definicja 3: Całka niewłaściwa Riemanna II rodzaju w przedziale \( [a,b) \) lub \( (a,b] \)
Niech \( (f:[a,b) \to \mathbb{R}) \) będzie funkcją całkowalną w sensie Riemmana na każdym z przedziałów domkniętych \( [a,\beta] \), przy czym \( ( a < \beta < b) \). Załóżmy, że funkcja \( (f) \) jest nieograniczona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu \( (b) \). Całką niewłaściwą Riemanna II rodzaju funkcji \( (f) \) nazywamy granicę
i oznaczamy ją symbolem
Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa \( \int_a^b f(x)dx \) jest zbieżna, natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa \( \int_a^b f(x)dx \) jest rozbieżna.
W analogiczny sposób definiujemy całkę niewłaściwą Riemanna II rodzaju w przypadku, gdy funkcja \( (f:(a,b] \to \mathbb{R}) \) jest całkowalna w sensie Riemmana na każdym z przedziałów domkniętych \( [\alpha, b] \), przy czym \( (a < \alpha < b) \), oraz jest nieograniczona w prawostronnym sąsiedztwie punktu \( (a) \). Wówczas przyjmujemy, że
W tej sytuacji analogicznie jak wyżej definiuje się pojęcia zbieżności i rozbieżności całki niewłaściwej.
Definicja 4: Całka niewłaściwa Riemanna II rodzaju w przedziale \( (a,b) \)
w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu \( (b) \). Całkę niewłaściwą Riemanna II rodzaju funkcji \( (f) \) w \( (a,b) \) definiujemy jako
gdzie \( (c) \) jest dowolnie wybranym punktem z \( ( (a, b) ) \). Jeżeli obie całki po prawej stronie powyższej równości są zbieżne, to mówimy, że całka \( (\int_{a}^{b} f(x)dx) \) jest zbieżna. Gdy któraś z tych całek nie istnieje lub jest rozbieżna, to mówimy, że całka niewłaściwa \( (\int_{a}^{b} f(x)dx) \) jest rozbieżna.
Przykład 3:
w lewostronnym sąsiedztwie punktu \( (1) \). Na początku znajdźmy następującą całkę nieoznaczoną:
Otrzymujemy zatem
a więc rozpatrywana całka niewłaściwa jest rozbieżna.
Obliczmy teraz całkę podobną do tej z przykładu 2, w którym przedział całkowania był nieograniczony. Po wykonaniu poniższych obliczeń warto porównać wyniki uzyskane w obu przykładach.
Przykład 4:
Przy ustalonej liczbie \( (b > 0) \) zbadajmy zbieżność całki \( (\int_0^b \frac{1}{x^p} dx) \)w zależności od wartości parametru \( (p \in \mathbb{R}). \)
Przypadek 1. \( p \neq 1 \).
Zauważmy, że
a zatem
Przypadek 2. \( p = 1 \).
Reasumując, całka \( (\int_0^b \frac{dx}{x^p}) \) jest zbieżna dla \( (p < 1) \), a rozbieżna dla \( (p \geq 1) \).