Definicja szeregu liczbowego
Definicja 1: Szereg liczbowy
Komentarz
Zauważamy, że w szeregu \( ( (a_n ),(S_n ) ) \) wyrazy ciągu sum częściowych \( (S_n) \) są wyznaczone jednoznacznie przez wyrazy ciągu \( (a_n) \). Również wyrazy ciągu \( (a_n) \) są wyznaczone jednoznacznie przez wyrazy ciągu \( (S_n) \) wzorem rekurencyjnym
Możemy zatem podawać postać tylko jednego z tych ciągów, aby jednoznacznie określić postać szeregu \( ( (a_n ),(S_n ) ) \).
Definicja 2: Szereg zbieżny
Definicja 3: Szereg rozbieżny do \( + \infty \) albo do \( - \infty \)
Jeżeli ciąg sum częściowych \( (S_n) \) szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) ma granicę niewłaściwą \( + \infty \), albo \( - \infty \) to mówimy, że szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) jest rozbieżny do \( + \infty \), albo do \( - \infty \).
Definicja 4: Szereg rozbieżny
Definicja 5: Reszta szeregu
Komentarz
Zauważmy, że \( R_{mn}=a_m+a_{m+1}+⋯+a_n \) i jeżeli szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) jest zbieżny do sumy \( S \), to \( m \)-tą resztę szeregu możemy wyrazić wzorem \( R_m=S-S_{m-1} \).
Twierdzenie 1: WKW zbieżności szeregu
Wniosek 1:
Rozwiązanie:
Obliczamy ciąg sum częściowych
\( \begin{array}{rcl}S_n &=& \ln(1+\frac{1}{1})+\ln(1+\frac{1}{2})+ \cdots +\ln(1+\frac{1}{n-1})+\ln(1+\frac{1}{n})= \ln 2+\ln \frac{3}{2}+ \cdots +\ln \frac{n}{n-1}+\ln \frac{n+1}{n} \\ &=& \ln 2+\ln 3-\ln 2+ \cdots +\ln n - \ln (n-1)+\ln (n+1) - \ln n=\ln(n+1). \end{array} \)
Obliczamy granicę ciągu sum częściowych
Czyli szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \ln(1+\frac{1}{n}) \) jest rozbieżny do \( \infty \).
Przykład 2:
Rozwiązanie:
Obliczamy sumy częściowe
\( S_n=\sqrt[3]{2}-2+\sqrt[5]{2}-\sqrt[3]{2}+ \cdots +\sqrt[2n+1]{2}-\sqrt[2n-1]{2}=\sqrt[2n+1]{2}-2. \)
Obliczamy granicę ciągu sum częściowych
Czyli szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt [2n+1]{2}-\sqrt[2n-1]{2}) \) jest zbieżny do sumy \( -1 \).
Przykład 3:
Rozwiązanie:
Do obliczania sum częściowych szeregu korzystamy ze wzoru \( \frac{1}{(n+1)(n+2)}= \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \), dla \( n=0,1,2, \ldots \) czyli
\( S_n=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+ \cdots +\frac{1}{n(n+1)} +\frac{1}{(n+1)(n+2)} =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+ \cdots +\frac{1}{n}- \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}. \)
Obliczamy granicę ciągu sum częściowych
Zatem szereg \( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)} \) jest zbieżnydo sumy \( S=1 \).
Przykład 4:
Rozwiązanie:
Ciąg sum częściowych ma postać \( S_n= \frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}+ \cdots +\frac{1}{\sqrt{n-1}}+\frac{1}{\sqrt{n}} \).
Do obliczenia granicy ciągu sum częściowych skorzystamy z twierdzenia o dwóch ciągach
Ponieważ granica ciągu o wyrazach mniejszych jest niewłaściwa \( \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{n}= \infty \), to granica ciągu sum częściowych też jest niewłaściwa \( \lim\limits_{n \to \infty} S_n = \infty \).
Czyli szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} } \) jest rozbieżny do \( \infty \).
Przykład 5:
Rozwiązanie:
Obliczamy ciąg sum częściowych \( S_n=c_1 \cdot 0,1+c_2 \cdot 0,01+ \cdots +c_n \cdot 10^{-n} \).
Ponieważ każda liczba \( 0 \leq c_n \leq 1 \), to dla każdego \( n \) mamy ograniczenia
Zauważamy, że ciąg \( (S_n) \) jest niemalejący, czyli korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym wiemy, że jest on ciągiem zbieżnym i jego granica mieści się w przedziale \( [0,1] \).