Funkcje cyklometryczne. Definicje, wykresy, podstawowe własności
Uwaga 1: O różnowartościowości pewnych zawężeń funkcji trygonometrycznych
Funkcje trygonometryczne jako funkcje okresowe nie są funkcjami różnowartościowymi. Mamy wiele (nieskończenie wiele) możliwości utworzenia ich różnowartościowych zawężeń. Szczególną rolę odgrywają następujące zawężenia (restrykcje):
\( \sin_{\vert\left[-{\pi\over 2},{\pi\over 2}\right]}:\left[{-\pi\over 2},{\pi\over 2}\right]\ni x\to\sin x\in [-1,1], \)
\( \cos_{\vert [0,\pi]}:[0,\pi]\ni x\to \cos x\in [-1,1], \)
\( {\rm tg}_{\vert (-{\pi\over 2},{\pi\over 2})}:({-\pi\over 2},{\pi\over 2}) \ni x\to {\rm tg}\, x\in \mathbb R, \)
\( {\rm ctg}_{\vert [0,\pi]}:[0,{\pi}] \ni x\to {\rm ctg}\, x\in \mathbb R. \)
Definicja 1: Funkcja arkus sinus
Funkcją arkus sinus (oznaczaną arcsin) nazywamy funkcje odwrotną do funkcji sinus zawężonej do przedziału domkniętego \( \left[{-\pi\over 2},{\pi\over 2}\right] \)
\( \arcsin:=\left(\sin_{\vert\left[-{\pi\over 2},{\pi\over 2}\right]}\right)^{-1} \)
Dziedziną funkcji arkus sinus jest przedział \( [-1, 1] \), zaś zbiorem wartości przedział \( \left[{-\pi\over 2},{\pi\over 2}\right] \). Wykres funkcji arcsin powstaje poprzez odbicie symetryczne względem prostej \( y=x \) wykresu zawężonej funkcji sinus \( \left(\sin_{\vert \left[-{\pi\over 2},{\pi\over 2}\right]}\right) \)
Uwaga 2: Własności funkcji arkus sinus
Podstawowe własności funkcji arkus sinus wynikają z faktu, że jest to funkcja odwrotna do odpowiednio zawężonej funkcji sinus i z ogólnych własności funkcji wzajemnie odwrotnych. Na przykład z tego, że \( f^{-1}(f(x))=x \) dla każdego \( x\in X \), \( f(f^{-1}(x))=x \) dla każdego \( x\in Y \) wynika, że
\( \arcsin(\sin x)=x\quad \textrm{dla}\quad x\in \left[-{\pi\over 2},{\pi\over 2}\right]. \)
\( \sin(\arcsin x)=x\quad \textrm{dla}\quad x\in [-1,1]. \)
Podobnie można skomentować pozostałe własności
\( \arcsin x=w\Leftrightarrow \sin w=x\quad \textrm{i}\quad w\in \left[-{\pi\over 2},{\pi\over 2}\right],\quad x\in [-1,1]. \)
Funkcje \( x\mapsto\arcsin x \) jest funkcją rosnącą jako odwrotna do rosnącego zawężenia funkcji sinus \( \left(\sin_{\vert\left[-{\pi\over 2},{\pi\over 2}\right]}\right) \).
Funkcja \( x\mapsto\arcsin x \) jest funkcją nieparzystą.
\( \arcsin(-x)=-\arcsin x,\quad x\in[-1,1]. \)
Funkcja \( x\mapsto\arcsin x \) jest funkcją ograniczoną
\( \vert\arcsin x\vert\le{\pi\over 2} \) dla każdego \( x\in [1,-1] \).
Definicja 2: Funkcja arkus kosinus
Funkcją arkus kosinus (oznaczaną arccos) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji kosinus zawężonej do przedziału domkniętego \( [0,\pi] \).
\( \arccos:=(\cos_{\vert[0,\pi]})^{-1}. \)
Dziedziną funkcji arkus kosinus jest przedział \( [-1, 1] \), zaś zbiorem wartości przedział \( [0,\pi] \). Wykres funkcji arccos powstaje poprzez odbicie symetryczne względem prostej \( y=x \) wykresu zawężonej funkcji kosinus \( (\cos_{\vert[0,\pi]}) \)
Uwaga 3: Własności funkcji arkus kosinus
Podstawowe własności funkcji arkus kosinus wynikają z faktu, że jest to funkcja odwrotna do odpowiednio zawężonej funkcji kosinus i z ogólnych własności funkcji wzajemnie odwrotnych. Na przykład z tego, że \( f^{-1}(f(x))=x \) dla każdego \( x\in X \), \( f(f^{-1}(x))=x \) dla każdego \( x\in Y \), wynika, że
\( \arccos(\cos x)=x,\quad \textrm{dla}\quad x\in [0,\pi]. \)
\( \cos(\arccos x)=x,\quad \textrm{dla}\quad x\in [-1,1]. \)
Podobnie można skomentować pozostałe własności
\( \arccos x= w\Leftrightarrow \cos w=x\quad \textrm{i}\quad w\in [0,\pi],\quad x\in [-1,1]. \)
Funkcja \( x\mapsto\arccos x \) jest funkcją malejącą jako odwrotna do malejącego zawężenia funkcji kosinus \( (\cos_{\vert[0,\pi]}) \).
Funkcja \( x\mapsto\arccos x \) jest funkcją ograniczoną, czyli
\( 0\le\arccos x\le\pi,\quad\textrm{dla każdego}\quad x\in[-1,1]. \)
Funkcja \( x\to\arccos x \) nie jest funkcją parzystą, ani nieparzystą.
Definicja 3: Funkcja arkus tangens
Funkcją arkus tangens (oznaczaną arctg) nazywamy funkcje odwrotną do funkcji tangens zawężonej do przedziału otwartego \( (-{\pi\over 2},{\pi\over 2}) \),
\( {\rm arctg}:=({\rm tg}_{\vert(-{\pi\over 2},{\pi\over 2})})^{-1}. \)
Dziedziną funkcji arkus tangens jest zbiór liczb rzeczywistych, zaś zbiorem wartości tej funkcji jest przedział otwarty \( (-{\pi\over 2},{\pi\over 2}) \). Wykres funkcji arccos powstaje poprzez odbicie symetryczne względem prostej \( y=x \) wykresu zawężonej funkcji tangens \( ({\rm tg}_{\vert (-{\pi\over 2},{\pi\over 2})}) \).
Uwaga 4: Własności funkcji arkus tangens
Podstawowe własności funkcji arkus tangens wynikają z faktu, że jest to funkcja odwrotna do odpowiednio zawężonej funkcji tangens i z ogólnych własności funkcji wzajemnie odwrotnych. Na przykład z tego, że \( f^{-1}(f(x))=x \), dla każdego \( x\in X \), \( f^{-1}(x)=x \), dla każdego \( x\in Y \) wynika, że
\( {\rm arctg}({tg}\, x)=x\quad \textrm{dla}\quad x\in (-{\pi\over 2},{\pi\over 2}). \)
Podobnie można skomentować pozostałe własności
\( {\rm tg}({\rm arctg}\, x)=x\quad \textrm{dla}\quad x\in\mathbb R, \)
\( {\rm arctg}\, x=w\Leftrightarrow {\rm tg}\, w=x\quad\textrm{i}\quad w\in(-{\pi\over 2},{\pi\over 2}),\quad x\in \mathbb R. \)
Funkcja \( x\mapsto {\rm arctg}\, x \) jest funkcją rosnącą jako odwrotna do rosnącego zawężenia funkcji tangens \( \left({\rm tg}_{\vert\left(-{\pi\over 2},{\pi\over 2}\right)}\right) \).
Funkcja \( x\mapsto {\rm arctg}\, x \) jest funkcją ograniczoną, czyli
\( \vert {\rm arctg x}\vert\le {\pi\over 2},\quad \textrm{dla każdego}\quad x\in\mathbb R \)
Funkcja \( x\mapsto {\rm arctg}\, x \) jest funkcją nieparzystą,
\( {\rm arctg}\, (-x)=-{\rm arctg}\, x,\quad \textrm{dla każdego}\quad x\in\mathbb R \)
Definicja 4: Funkcja arkus kotangens
Funkcją arkus kotangens (oznaczaną arcctg) nazywamy funkcje odwrotną do funkcji kotangens zawężonej do przedziału otwartego \( (0,\pi) \)
\( {\rm arcctg} :=\left({\rm ctg}_{\vert(0,\pi)}\right)^{-1} \)
Dziedziną funkcji arkus kotangens jest cały zbiór liczb rzeczywistych, zaś zbiorem wartości tej funkcji jest przedział otwarty \( (0,\pi) \). Wykres funkcji arcctg powstaje poprzez odbicie symetryczne względem prostej \( y=x \) wykresu zawężonej funkcji kotangens \( ({\rm ctg}_{\vert(0,\pi)}) \).
Uwaga 5: Własności funkcji arkus kotangens
Podstawowe własności funkcji arkus kotangens wynikają z faktu, że jest to funkcja odwrotna do odpowiednio zawężonej funkcji kotangens i z ogólnych własności funkcji wzajemnie odwrotnych. Na przykład z tego, że \( f^{-1}(f(x))=x \), dla każdego \( x\in X \), \( f(f^{-1}(x))=x \) dla każdego \( x\in Y \) wynika, że
\( {\rm arcctg}({\rm ctg}\, x)=x,\quad\textrm{dla}\quad x\in(0,\pi). \)
Podobnie można skomentować pozostałe własności
\( {\rm ctg}({\rm arcctg}\, x)=x,\quad \textrm{dla}\quad x\in\mathbb R, \)
\( {\rm arcctg}\, x=w\Leftrightarrow {\rm ctg}\, w=x\quad \textrm{i}\quad w\in (0,\pi),\quad x\in\mathbb R. \)
Funkcja \( x\mapsto {\rm arcctg}\, x \) jest funkcją malejącą jako odwrotna do malejącego zawężenia funkcji kotangens \( ({\rm ctg}_{\vert(0,\pi)}) \).
Funkcja \( x\mapsto {\rm arcctg}\, x \) jest funkcją ograniczoną.
\( 0\le {\rm arcctg}\, x\le\pi,\quad \textrm{dla każdego}\quad x\in \mathbb R. \)
Funkcja \( x\mapsto {\rm arcctg}\, x \) nie jest funkcją parzystą ani nieparzystą.
Twierdzenie 1: Związki pomiędzy funkcjami cyklometrycznymi