Funkcjonał zależny od funkcji wielu zmiennych
Rozważmy teraz funkcjonał zależny od funkcji n-zmiennych. Ponieważ rozważania są analogiczne ograniczymy się do funkcji dwóch zmiennych. Niech \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) będzie obszarem zawartym w \( \hskip 0.3pc\mathbb R^2.\hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc f:\Omega\times\mathbb R^3\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1.\hskip 0.3pc \) Poszukujemy funkcji \( \hskip 0.3pc z=u(x,y),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc (x,y)\in \Omega,\hskip 0.3pc \) o zadanych wartościach \( \hskip 0.3pc u=\varphi \hskip 0.3pc \) na brzegu \( \hskip 0.3pc \partial \Omega\hskip 0.3pc \) obszaru \( \hskip 0.3pc \Omega,\hskip 0.3pc \) na której funkcjonał
osiąga wartość ekstremalną.
Zakładając, że \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest klasy \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc \) i rozumując jak poprzednio, można wyprowadzić następujący wzór na wariację funkcjonału
Wykorzystując wzór na całkowanie przez części i zakładając, że \( \hskip 0.3pc h(x,y)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc (x,y)\in \partial \Omega,\hskip 0.3pc \) otrzymamy
Stąd i stosownego odpowiednika lematu 1 z modułu Równanie Eulera-Lagrange’a-1 otrzymamy następujące równanie Eulera-Lagrange'a
Równanie to wraz z zadanym warunkiem brzegowym \( \hskip 0.3pc u(x,y)=\varphi (x,y) \hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc (x,y)\in \partial \Omega\hskip 0.3pc \), daje warunek konieczny istnienia ekstremum.
w klasie funkcji \( \hskip 0.3pc u\in C^2(\Omega)\hskip 0.3pc \) spełniających warunek: \( \hskip 0.3pc u(x,y)=\varphi (x,y)\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc (x,y)\in \partial \Omega,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) jest funkcją daną.
W rozważanym przypadku \( \hskip 0.3pc f=u_x^2+u_y^2,\hskip 0.3pc \) a równanie Eulera-Lagrange'a przybiera postać
Szukana ekstremala \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest zatem rozwiązaniem zagadnienia Dirichleta dla równania Laplace'a.
w klasie funkcji \( \hskip 0.3pc u\in C^2(\Omega),\hskip 0.3pc \) przyjmujących wartość \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) na \( \hskip 0.3pc \partial \Omega.\hskip 0.3pc \)
W tym przypadkurównanie Eulera-Lagrange'a ma postać
a ekstremala jest rozwiązaniem równania
z warunkiem brzegowym
Szukana ekstremala jest zatem rozwiązaniem zagadnienia Dirichleta dla równania Poissona.
Niech krzywa \( \hskip 0.3pc \Gamma\hskip 0.3pc \) dana jest równaniami \( \hskip 0.3pc x=x(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y=y(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc z=z(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t\in[\alpha ,\beta ].\hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc \Omega\subset \mathbb R^2\hskip 0.3pc \) będzie obszarem ograniczonym krzywą \( \hskip 0.3pc x=x(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc y=y(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t\in[\alpha ,\beta ].\hskip 0.3pc \) Szukamy funkcji \( \hskip 0.3pc z=u(x,y),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc (x,y)\in \Omega,\hskip 0.3pc \) realizującej minimum funkcjonału
i takiej, że \( \hskip 0.3pc u\big(x(t),y(t)\big)=z(t),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t\in[\alpha ,\beta ].\hskip 0.3pc \)
Oczywiście \( \hskip 0.3pc f= \sqrt{1+u_x^2+u_y^2}.\hskip 0.3pc \) Szukana ekstremala jest rozwiązaniem równania
spełniającym warunek