Liczby zespolone
Definicja 1: Zbiór liczb zespolonych
Zbiór \( \mathbb{C}= \left\{ (x,y) : x,y\in\mathbb{R} \right\} \) z działaniami \( + \) i \( \cdot \) określonymi jako
nazywamy zbiorem liczb zespolonych, a jego elementy liczbami zespolonymi.
Twierdzenie 1: Własności dodawania i mnożenia liczb zespolonych
- Dodawanie jest przemienne, tj. dla dowolnych liczb \( z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} \) zachodzi \( z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}. \)
- Dodawanie jest łączne, tj. dla dowolnych liczb \( z_{1},z_{2},z_{3}\in\mathbb{C} \) zachodzi \( (z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3}). \)
- Liczba \( \mathbf{0}=(0,0) \) jest elementem neutralnym dodawania, tj. dla dowolnej liczby zespolonej \( z \) zachodzi \( z+\mathbf{0}=\mathbf{0}+z=z. \)
- Dla dowolnej liczby zespolonej \( z=(x,y) \) liczba \( -z=(-x,-y) \) jest przeciwna do liczby \( z \), tj. \( z+(-z)=\mathbf{0} \).
- Mnożenie jest przemienne, tj. dla dowolnych liczb \( z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} \) zachodzi \( z_{1}\cdot z_{2}=z_{2}\cdot z_{1}. \)
- Mnożenie jest łączne, tj. dla dowolnych liczb \( z_{1},z_{2},z_{3}\in\mathbb{C} \) zachodzi \( (z_{1}\cdot z_{2})\cdot z_{3}=z_{1}\cdot (z_{2}\cdot z_{3}). \)
- Liczba \( \mathbf{1}= (1,0) \) jest elementem neutralnym mnożenia, tj. dla dowolnej liczby zespolonej \( z \) zachodzi \( z\cdot \mathbf{1}=\mathbf{1}\cdot z=z. \)
- Dla dowolnej, różnej od \( \mathbf{0} \) liczby zespolonej \( z=(x,y) \) liczba \( z^{-1}=(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, -\frac{y}{x^{2}+y^{2}}) \) jest odwrotnością liczby \( z \), tj. \( z\cdot z^{-1}=\mathbf{1} \).
- Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, tj. dla dowolnych liczb \( z_{1},z_{2},z_{3}\in\mathbb{C} \) zachodzi
\( (z_{1}+z_{2})\cdot z_{3}=z_{1}\cdot z_{3}+z_{2}\cdot z_{3} \)
Geometrycznie liczbę zespoloną \( z=(x,y) \) interpretujemy jako wektor zaczepiony w punkcie \( (0,0) \) o końcu w punkcie \( (x,y) \).
W tej interpretacji w naturalny sposób zobrazujemy dodawanie liczb zespolonych jako dodawanie wektorów:
Zbiór liczb zespolonych możemy również interpretować jako zbiór punktów na płaszczyźnie.
W tej interpretacji naturalnym staje się określenie równości liczb zespolonych. Otóż dwie liczby zespolone \( z_{1}=(x_{1},y_{1}) \) oraz \( z_{2}=(x_{2},y_{2}) \)) są równe, jeżeli \( x_{1}=x_{2} \) oraz \( y_{1}=y_{2} \).
Zbiór wszystkich liczb zespolonych na płaszczyźnie (wektorów lub punktów) nazywamy płaszczyzną zespoloną (lub płaszczyzną Gaussa).
W zbiorze liczb zespolonych rozważmy podzbiór \( \{ (x,0): x\in\mathbb{R} \} \) składający się z liczb zespolonych leżących na osi odciętych OX.
Zauważmy, że liczby tej postaci mają następujące własności:
Dzięki temu możemy utożsamić zbiór liczb zespolonych postaci \( \{(x,0): x\in\mathbb{R}\} \) ze zbiorem liczb rzeczywistych i parę \( (x,0) \) zapisywać po prostu jako \( x \). Oś \( OX \) będziemy wówczas nazywać osią rzeczywistą.
Wyróżnijmy teraz jednostkę na osi \( OY \), tj. liczbę zespoloną postaci \( (0,1) \).
Definicja 2:
Zauważmy, że
Powyższy fakt, niemożliwy dla liczb rzeczywistych, tłumaczy nazwę "jednostka urojona".
Oś \( OY \), której wersorem jest jednostka urojona, będziemy nazywać osią urojoną.
Niech \( z=(x,y) \) będzie liczbą zespoloną. Współrzędna \( x \)
liczby \( z \) jest określona względem osi rzeczywistej \( OX \), dlatego mówimy, że jest to część rzeczywista liczby z.
Z kolei współrzędna \( y \) liczby \( z \)
jest określona względem osi urojonej \( OY \) i dlatego nosi nazwę części urojonej liczby z.
Dla liczby zespolonej \( z=(x,y) \) wprowadzamy oznaczenia
od łacińskiego słowa realis( \( z \)) oznaczającego część rzeczywistą liczby \( z \) oraz
od łacińskiego imaginarius( \( z \)) oznaczającego część urojoną liczby \( z \).