Metoda charakterystyk dla równań liniowych o n-zmiennych niezależnych
Rozważmy najpierw liniowe jednorodne równanie różniczkowe cząstkowe \( \hskip 0.3pc 1 \hskip 0.3pc \)-go rzędu o \( \hskip 0.3pc n \hskip 0.3pc \)-zmiennych niezależnych
gdzie \( \hskip 0.3pc a_1, \ldots ,a_n \hskip 0.3pc \) są funkcjami klasy \( \hskip 0.3pcC^1 \hskip 0.3pc \) określonymi w zbiorze \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb{R}^n. \hskip 0.3pc \)
Rozważmy ponadto układ równań
zwany układem równań charakterystyk dla równania ( 1 ).
układu równań ( 2 ) mamy
tzn. funkcja \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest stała wzdłuż dowolnego rozwiązania układu równań ( 2 ).
Bezpośrednim rachunkiem nietrudno sprawdzić iż zachodzi następująca uwaga:
Wówczas funkcja \( \hskip 0.3pc v=f\big(u (x_1, \ldots ,x_n) \big) \hskip 0.3pc \) jest również całą pierwszą układu (2).
Podobnie, jeśli funkcje \( \hskip 0.3pc u_1, \ldots ,u_k \hskip 0.3pc \) są całkami pierwszymi uładu (2) a \( \hskip 0.3pc F:\,R^k\to \mathbb {R} \hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1, \hskip 0.3pc \) to funkcja \( \hskip 0.3pc v=F\big(u_1(x_1, \ldots ,x_n) , \ldots ,u_k(x_1, \ldots ,x_n)\big) \hskip 0.3pc \) jest również całką pierwszą układu ( 2 )ZAŁOŻENIA:
Funkcja \( \hskip 0.3pc u:\,\Omega \to \mathbb R \hskip 0.3pc \)jest klasy \( \hskip 0.3pc C^1. \hskip 0.3pc \)TEZA:
Funkcja \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) wtedy i tylko wtedy gdy jest całką pierwszą układu równań ( 2 ).DOWÓD:
Warunek wystarczający. Niech \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) będzie całką pierwszą układu równań ( 2 ). Niech \( \hskip 0.3pc \stackrel{o}{x}=(\stackrel{o}{x}_1, \ldots , \stackrel{o}{x}_n)\in \Omega. \hskip 0.3pc \)
Niech \( \hskip 0.3pc x(t)= \big(x_1(t), \ldots ,x_n(t)\big), \hskip 0.3pc \)gdzie \( \hskip 0.3pc t\in I, \hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem układu równań ( 2 ) przechodzącym w chwili \( \hskip 0.3pc t_0 \hskip 0.3pc \) przez punkt \( \hskip 0.3pc \stackrel{o}{x}, \hskip 0.3pc \) tzn. \( \hskip 0.3pc x(t_0)=\,\stackrel{o}{x}. \hskip 0.3pc \)
Ponieważ \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest całką pierwszą układu ( 2 ) więc
Różniczkując ostatnią równość względem zmiennej \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \) dostajemy
W szczególności dla \( \hskip 0.3pc t=t_0 \hskip 0.3pc \) mamy
co oznacza, że funcja \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) spełnia równanie ( 1 ) w punkcie \( \hskip 0.3pc \stackrel{o}{x}. \hskip 0.3pc \)
Ponieważ \( \hskip 0.3pc \stackrel{o}{x} \hskip 0.3pc \) jest dowolnym punktem zbioru \( \hskip 0.3pc \Omega, \hskip 0.3pc \) więc funkcja \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) w \( \hskip 0.3pc \Omega.\hskip 0.3pc \)
Warunek konieczny. Niech \( \hskip 0.3pc u=u(x_1, \ldots ,x_n) \hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem równania ( 1 ), a układ funkcji \( \hskip 0.3pc x_1=x_1(t),\,\, \ldots ,\,\,\,x_n=x_n(t), \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t\in I, \hskip 0.3pc \) rozwiązaniem układu równań ( 2 ).
Oczywiście
Ponieważ
powyższe równanie możemy zapisać w postaci
czyli
W konsekwencji
jeśli dla dowolnego \( \hskip 0.3pc x=(x_1,\ldots,x_n)\in \Omega\hskip 0.3pc \) rząd macierzy
wynosi \( \hskip 0.3pc m. \hskip 0.3pc \)
W szczególności, jeśli \( \hskip 0.3pc m=n \hskip 0.3pc \) oznacza to, że wyznacznik z powyższej macierzy jest różny od zera.
Zauważmy, że jeśli \( \hskip 0.3pc u_1,\ldots,u_m \hskip 0.3pc \) są funkcyjnie niezależne w zbiorze \( \hskip 0.3pc \Omega \hskip 0.3pc \) to dla dowolnego \( \hskip 0.3pc x \in \Omega \hskip 0.3pc \) równość
zachodzi tylko wówczas, gdy \( \hskip 0.3pc\lambda_1 = \cdots = \lambda_m =0.\hskip 0.3pc \)
Przypomnijmy, że punkt \( \hskip 0.3pc\stackrel{o}{x}\in \Omega\hskip 0.3pc \) nazywamy punktem równowagi (lub stacjonarnym) układu ( 2 ), jeśli prawe strony tego układu zerują się w tym punkcie, czyli
ZAŁOŻENIA:
Niech \( \hskip 0.3pc \stackrel{o}{x}\, =\big( \stackrel{o}{x}_1, \ldots , \stackrel{o}{x}_n\big) \in \Omega \hskip 0.3pc \) będzie dowolnym punktem rówwagi układu ( 2 ).TEZA:
Wtedy istnieje \( \hskip 0.3pc n-1 \hskip 0.3pc \) funkcyjnie niezależnych całek pierwszych \( \hskip 0.3pc u_1, \ldots , u_{n-1} \hskip 0.3pc \) tego układu. Ponadto, jeśli \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \)jest całką pierwszą układu ( 2 ) w tym otoczeniu, to
gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1. \hskip 0.3pc \)
Dowód tego twierdzenia został przedstawiony w module "Całki pierwsze" (patrz twierdzenie 1 ).
a ponadto dla dowolnych \( \hskip 0.3pc \lambda_1, \ldots , \lambda_n\in \mathbb R, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \mu_1, \ldots , \mu_n\in \mathbb R, \hskip 0.3pc \)
Układ równań charakterystyk możemy zapisać w postaci:
Rozwiązując równania:
otrzymujemy:
łatwo sprawdzić, że funkcje:
są liniowo niezależnymi całkami pierwszymi układu równań charakterystyk, a zatem szukana całka ogólna ma postać
Rozważmy teraz równanie niejednorodne
gdzie \( \hskip 0.3pca_1, \ldots ,a_n \hskip 0.3pc \) są funkcjami klasy \( \hskip 0.3pc C^1 \hskip 0.3pc \) określonymi w zbiorze \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R^n. \hskip 0.3pc \)
Szukamy rozwiązania w postaci uwikłanej
gdzie \( \hskip 0.3pc V \hskip 0.3pc \) jest funkcją posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu punktu \( \hskip 0.3pc \stackrel{o}w=(\stackrel{o}x_1, \ldots ,\stackrel{o}x_n, \stackrel{o}u). \hskip 0.3pc \)
Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc \dfrac{\partial V}{\partial u}( \stackrel{o}w)\neq 0. \hskip 0.3pc \) Z twierdzenia o pochodnej funkcji uwikłanej w otoczeniu punktu \( \hskip 0.3pc \stackrel{o}w \hskip 0.3pc \) otrzymamy
Podstawiając ostatnie wielkości do równania ( 5 ) otrzymamy równanie liniowe jednorodne
Równania charakterystyk równania ( 7 ) mają postać:
Niech \( \hskip 0.3pc \psi_1, \ldots , \psi_n\hskip 0.3pc \) będą funkcyjnie niezależnymi całkami pierwszymi układu równań ( 8 ). Zgodnie z wzorem ( 3 ) całka ogólna równania ( 7 ) ma postać
gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe.
Stąd i ( 6 ) wynika, że całką ogólną równania ( 5 ) ma postać
Równanie charakterystyk możemy zapisać w postaci:
Rozwiązując równania:
otrzymamy:
łatwo sprawdzić, że funkcje:
są liniowo niezależnymi całkami pierwszymi układu równań charakterystyk.
Zatem szukana całka ogólna ma postać:
gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją różniczkowalną trzech zmiennych.