Obliczanie długości łuku krzywych
Definicja 1: Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie
Rozważmy krzywą \( \Gamma \) zadaną parametrycznie w następujących sposób:
gdzie \( \varphi \) i \( \psi \) są funkcjami ciągłymi w przedziale \( [\alpha, \beta] \). Zdefiniujmy długość \( d \) łuku krzywej \( \Gamma \). Podzielmy przedział \( [\alpha, \beta] \) na \( n \) podprzedziałów wybierając punkty podziału \( t_k \) ( \( k=0,\dots,n \)) tak, aby zachodziła zależność
Niech \( \Delta_k = t_k - t_{k-1} \) oraz \( \delta_n = \max \{ \Delta_k : k=1,\ldots,n\} \). Zauważmy, że punkty \( P_k=(\varphi(t_k),\psi(t_k)) \in \Gamma \)
( \( k=1,\dots,n \)) wyznaczają łamaną \( \Gamma_n \), która przybliża krzywą \( \Gamma \) w przedziale \( [\alpha, \beta] \).
Długość otrzymanej łamanej wyraża się wzorem
gdzie \( |P_{k-1}P_{k}| \) jest długością odcinka łączącego punkty \( P_{k-1} \) i \( P_k \) \( (k=1,\dots,n) \). Jeżeli istnieje granica
i jest ona jest niezależna od wyboru normalnego ciągu podziałów przedziału \( [\alpha, \beta] \) (czyli takich jego podziałów, że \( \lim\limits_{n \to \infty} \delta_n = 0 \)), to mówimy, że krzywa \( \Gamma \) jest krzywą prostowalną w przedziale \( [\alpha, \beta] \). Granicę tę nazywamy długością łuku krzywej \( \Gamma \) w przedziale \( [\alpha, \beta]. \)
Twierdzenie 1: o długości krzywej zadanej parametrycznie
Jeżeli \( \Gamma \) jest krzywą prostowalną zadaną parametrycznie, a funkcje \( \varphi:[\alpha, \beta] \to \mathbb{R} \) i \( \psi: [\alpha, \beta] \to \mathbb{R} \) są klasy \( C^1 \), to długość krzywej \( \Gamma \) wyraża się wzorem
DOWÓD
Na początku zauważmy, że dla każdego \( n \in \mathbb{N} \) długość łamanej \( \Gamma_n \) jest równa
Ponieważ funkcje \( \varphi \) i \( \psi \) są klasy \( C^1 \) na przedziale \( [\alpha, \beta] \), więc do każdej z nich i do każdego z przedziałów \( [t_{k-1}, t_k] \)
( \( k=1, \ldots,n \)) możemy zastosować twierdzenie Lagrange'a. Otóż na jego podstawie istnieją takie punkty \( \xi_k \) i \( \xi^*_k \) należące do przedziału \( (t_{k-1}, t_k) \), że
Stąd po przekształceniach otrzymujemy
gdzie \( \Delta_k \) oznacza długość przedziału \( (t_{k-1}, t_k) \). Podstawiając powyższe wyrażenia do wzoru na \( d_n \), dostajemy
Teraz przechodząc z \( d_n \) do granicy przy \( n\to\infty \) (i oczywiście pamiętając, że \( \lim\limits_{n \to \infty} \delta_n = 0 \)), otrzymujemy
CND.
Przykład 1:
Obliczymy długość krzywej zwanej asteroidą , która jest zadana równaniami parametrycznymi
gdzie \( t\in [0,2\pi] \), natomiast \( a \) jest ustaloną liczbą dodatnią.
Asteroida jest symetryczna względem obu osi układu współrzędnych, więc do obliczenia jej długości wystarczy wyznaczyć długość łuku leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Zauważmy, że \( x=\varphi(t) \) i \( y=\psi(t) \) są funkcjami klasy \( C^1 \), a ich pochodne wynoszą odpowiednio:
Obliczmy wartość wyrażenia \( ((\varphi^{\prime}(t))^2 + (\psi^{\prime}(t))^2 \gt 0 \) dla każdego \( t \in (0, \frac{\pi}{2}) \). Otóż
Korzystając ze wzoru ( 1 ) na długość krzywej, otrzymujemy
Wartości \( \sin t \) i \( \cos t \) są nieujemne dla każdego \( t \in [0, \frac{\pi}{2}] \), zatem
Podamy teraz twierdzenie, które umożliwi nam wyznaczanie długości krzywej, która jest wykresem funkcji zmiennej \( x \).
Twierdzenie 2: o długości krzywej będącej wykresem funkcji jednej zmiennej
Długość \( d \) łuku krzywej będącej wykresem funkcji \( f: [a,b] \to \mathbb{R} \), która jest klasy \( C^1 \), wyraża się wzorem
DOWÓD
Przyjmijmy, że
Wówczas na podstawie twierdzenia o długości krzywej zadanej parametrycznie otrzymujemy
CND.
Przykład 2:
Obliczmy długość linii łańcuchowej \( f(x)=\frac{1}{2}(e^x + e^{-x}) \), gdzie \( x \in [-1, 1]. \)
Ponieważ pochodna funkcji \( f \) wyraża się wzorem
więc wyrażenie podpierwiastkowe ma postać
Podstawiając to wyrażenie do wzoru ( 2 ), otrzymujemy długość krzywej
Dla krzywej \( \Gamma \) zadanej w postaci biegunowej zachodzi następujące twierdzenie.
Twierdzenie 3: o długości krzywej zadanej w postaci biegunowej
Jeżeli krzywa \( \Gamma \) zadana jest w postaci biegunowej \( r=r(\phi) \), gdzie \( r: [\alpha, \beta] \to \mathbb{R} \) jest funkcją klasy \( C^1 \), a łuk krzywej \( \Gamma \) nie ma punktów wielokrotnych, to długość tej krzywej wyraża się wzorem
DOWÓD
Krzywą wyrażoną w postaci biegunowej można także zapisać parametrycznie, przy pomocy tzw. współrzędnych biegunowych:
gdzie \( \phi \in [\alpha, \beta] \), a następnie jej długość wyrazić za pomocą wzoru ( 1 ).
Ponieważ pochodne funkcji \( \varphi \) i \( \psi \) są postaci
dla \( \phi \in [\alpha, \beta] \), to wyrażenie podpierwiastkowe przyjmuje postać
W konsekwencji
CND.
Przykład 3:
Wyprowadzimy wzór na długość okręgu o promieniu \( a \). Równanie okręgu we współrzędnych biegunowych ma postać
Podstawiając \( r(\phi) \) i \( r^{\prime}(\phi)=0 \) do wzoru ( 3 ) na długość krzywej, otrzymujemy znany wzór na długość okręgu