Obliczanie objętości brył obrotowych
Twierdzenie 1: o objętości bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji jednej zmiennej wokół osi \( OX \)
Niech krzywa \( \Gamma \) będzie wykresem nieujemnej funkcji ciągłej \( f:[a,b] \to \mathbb{R}. \) Objętość \( V \) bryły powstałej z obrotu łuku krzywej \( \Gamma \) wokół osi \( OX \) wyraża się wzorem
Przykład 1:
Korzystając z twierdzenia o objętości bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji jednej zmiennej wokół osi \( OX \) obliczymy objętość stożka, którego wysokość jest równa \( h \), a promień jego podstawy wynosi \( r \). Zauważmy, że stożek ten powstaje z obrotu odcinka o końcach w punktach \( A=(0, 0) \) i \( B=(h, r) \) ( \( h \gt 0 \), \( r \gt 0 \)) wokół osi \( OX \). Ogólnie odcinek łaczący punkty o współrzędnych \( (x_A,y_A) \) oraz \( (x_B,y_B) \) możemy opisać za pomocą równania
W naszej sytuacji przyjmuje ono postać
Szukaną objętość możemy zatem obliczyć w następujący sposób:
Niech \( \Gamma \) będzie krzywą zadaną parametrycznie:
Twierdzenie 2: o objętości bryły powstałej z obrotu łuku krzywej zadanej w postaci biegunowej
Jeżeli funkcje \( x =\varphi(t) \) i \( y=\psi(t) \) mają ciągłe pochodne, funkcja \( \varphi \) jest rosnąca lub malejąca, a funkcja \( \psi(t) \geq 0 \) jest nieujemna, to objętość \( V \) bryły powstałej z obrotu łuku krzywej \( \Gamma \) wokół osi \( OX \) wyraża się wzorem
Przykład 2:
Znajdźmy objętość bryły powstałej w wyniku obrotu wokół osi \( OX \) figury zawartej między osiami układu a krzywą
Zauważmy, że tak zadana krzywa \( \Gamma \) położona jest w górnej półpłaszczyźnie \( OXY \) oraz przecina osie układu współrzędnych w punktach \( (-1,0) \) przy \( t=0 \) oraz \( (0,1) \) przy \( t=1 \). Korzystając z twierdzenia o objętości bryły powstałej z obrotu łuku krzywej zadanej w postaci biegunowej, znajdujemy szukaną objętość