Obliczanie pewnych całek niewymiernych metodą współczynników nieoznaczonych Lagrange'a
Twierdzenie 1: Metoda współczynników nieoznaczonych Lagrange'a
Do obliczenia całki \( \int \frac{ W_n(x) }{ \sqrt{ ax^2+bx+c } } dx \) stosujemy wzór
Aby obliczyć wszystkie niewiadome (współczynniki), stosujemy metodę Lagrange'a według następującego algorytmu:
- Zapisujemy wynik całki z niewiadomymi \( Q_{ n-1 }(x) \) oraz \( \alpha, \) traktując następnie zapis jako równanie.
- Obliczamy stronami pochodną pamiętając o własności, że pochodna całki jest równa funkcji podcałkowej.
- Obie strony równania należy pomnożyć przez \( \sqrt{ ax^2+bx+c }. \)
- Poprzez porównanie odpowiednich współczynników wielomianów występujących po obu stronach równania dostajemy układ równań na wszystkie szukane niewiadome współczynniki.
- Na koniec obliczamy jeszcze całkę \( \int \frac{ dx }{ \sqrt{ ax^2+bx+c } } . \)
Przykład 1:
Stosując metodę współczynników nieoznaczonych Lagrange'a, obliczmy całkę
Zgodnie z twierdzeniem Metoda współczynników nieoznaczonych Lagrange'a możemy zapisać
Następnie licząc pochodną po obu stronach równania, pamiętając o własności, że pochodna całki jest równa funkcji podcałkowej, mamy
Mnożąc obie strony równania przez \( \sqrt{ x^2+2x+6 } \) i grupując wyrazy, dostajemy
skąd, po porównaniu odpowiednich współczynników, otrzymujemy układ równań
Zatem \( A=\frac{ 1 }{ 2 }, B=\frac{ 5 }{ 2 }, \alpha=-\frac{ 9 }{ 2 } \). Wracając do całki
i korzystając z podstawień Eulera wyliczamy
Stąd
Przykład 2:
Stosując metodę współczynników nieoznaczonych Lagrange'a obliczmy całkę
Chcąc skorzystać z metody współczynników nieoznaczonych, musimy najpierw przekształcić naszą całkę do odpowiedniej postaci, w której można zastosować metodę Lagrange'a.
Zatem
Różniczkując równanie stronami i pamiętając o własności, że pochodna całki jest równa funkcji podcałkowej, otrzymujemy
i stąd
Następnie mnożąc równanie obustronnie przez \( \sqrt{ -x^2+4x+2 } \) i grupując wyrazy podobne, otrzymujemy
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach \( x \), dostajemy układ równań
Wracając do całki mamy
Całkę, która nam pozostała, obliczamy korzystając na przykład z podstawień Eulera lub przekształcając ją do
całki \( \int \frac{ dt }{ \sqrt{ a^2-t^2 } } \), wówczas
Zatem