Podstawowe działania na dystrybucjach
Jezeli dystrybucja jest regularna, to definicje te pokrywają się ze zwykłymi definicjami sumy funkcji i iloczynu funkcji przez liczbę. Nietrudno sprawdzić, że przy tak określonych działaniach, przestrzeń dystrybucji jest przestrzenią liniową.
Z zasady przy określaniu działań na dystrybucjach żąda się, aby w przypadku dystrybucji regularnych, pokrywały się one z odpowiednimi działaniami na funkcjach.
Kolejną powszechnie używaną operacją na funkcjach jest mnożenie funkcji przez funkcje. Niestety, operacji takiej nie możemy określić dla dowolnych dystrybucji. Wyjaśnia to poniższy przykład.
Oczywiście funkcja ta określa dystrybucje regularną
Natomiast wyrażenie
Możemy natomiast określić iloczyn dystrybucji w przypadkach szczególnych. Na przykład, jeśli \( \hskip 0.3pc f,g:\Omega \to\mathbb R\hskip 0.3pc \) są funkcjami lokalnie całkowalnymi i ich iloczyn \( \hskip 0.3pc fg\hskip 0.3pc \) jest też funkcją lokalnie całkowalną, to określa on dystrybucje
Zauważmy, że jeśli \( \hskip 0.3pc \alpha \hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^{\infty,}\hskip 0.3pc \) to \( \hskip 0.3pc \alpha \varphi \in D(\Omega )\hskip 0.3pc \) dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\Omega ).\hskip 0.3pc \) Ponadto, jeśli ciąg \( \hskip 0.3pc \{\varphi _i\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) w \( \hskip 0.3pc D(\Omega ),\hskip 0.3pc \) to również ciąg \( \hskip 0.3pc \{\alpha \varphi _i\}\hskip 0.3pc \) jest zbieżny do \( \hskip 0.3pc \alpha \varphi\hskip 0.3pc \) w \( \hskip 0.3pc D(\Omega ).\hskip 0.3pc \) Zatem jeśli \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją lokalnie całkowalną na \( \hskip 0.3pc \mathbb R,\hskip 0.3pc \) to z tożsamości
wynika, że iloczyn dystrybucji regularnej \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) przez funkcje \( \hskip 0.3pc \alpha\hskip 0.3pc \) klasy \( \hskip 0.3pc C^{\infty}\hskip 0.3pc \) można zdefiniować wzorem
Oczywiście wzór ten można rozszerzyć na dowolną dystrybucje \( \hskip 0.3pc T\in D^*(\Omega)\hskip 0.3pc \) przyjmując
Należy odnotować, że zapis ten koliduje z oznaczeniem \( \hskip 0.3pc T_f\hskip 0.3pc \) dystrybucji generowanej przez funkcje \( \hskip 0.3pc f.\hskip 0.3pc \) Ponieważ jednak z kontekstu będzie zawsze jasno wynikać o jakie oznaczenie chodzi, pozostawimy tę niezgodność notacyjną.
Przykładem translacji dystrybucji jest zdefiniowana poprzednio dystrybucja \( \hskip 0.3pc \delta_{x_0}.\hskip 0.3pc \)
Istotnie
Podobnie, dla \( \hskip 0.3pc \alpha >0\hskip 0.3pc \) symbolem \( \hskip 0.3pc T^{\alpha} \hskip 0.3pc \) oznaczać będziemy dystrybucje określoną wzorem
Zauważmy, że definicje te są całkiem naturalne. Jeśli bowiem \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją regularną generowaną przez funkcje lokalnie całkowalną \( \hskip 0.3pc f:\mathbb R^n\to \mathbb R,\hskip 0.3pc \) to
czyli \( \hskip 0.3pc T_{x_0}\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją regularną generowną przez funkcje \( \hskip 0.3pc f(x-x_0).\hskip 0.3pc \)
Analogicznie
czyli \( \hskip 0.3pc T^{-}\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją regularną generowną przez funkcje \( \hskip 0.3pc f(-x).\hskip 0.3pc \)
Podobnie
czyli \( \hskip 0.3pc T^{\alpha }\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją regularną generowną przez funkcje \( \hskip 0.3pc f(\alpha x).\hskip 0.3pc \)
Dystrybucje \( \hskip 0.3pc T\in D^*( \mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) nazywamy
\( \lambda\hskip 0.3pc \)- jednorodną, jeśli \( \hskip 0.3pc T^t =t^{\lambda}T\hskip 0.3pc \) dla dowolnego \( \hskip 0.3pc t>0\hskip 0.3pc \);
parzystą, jeśli \( \hskip 0.3pc T^- = T\hskip 0.3pc \);
nieparzystą, jeśli \( \hskip 0.3pc T^- = -T\hskip 0.3pc \) ;
okresową , jeśli \( \hskip 0.3pc T_a= T\hskip 0.3pc \) dla pewnego \( \hskip 0.3pc a\in\mathbb R^n.\hskip 0.3pc \) Element \( \hskip 0.3pc a\hskip 0.3pc \) nazywamy okresem dystrybucji.
Aby móc wygodnie przeprowadzać rachunki, często wprowadza się formalnie zapis \( \hskip 0.3pc T(x).\hskip 0.3pc \) Oczywiście \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) oznacza argument funkcji próbnej, na której działa dystrybucja \( \hskip 0.3pc T.\hskip 0.3pc \) W tej konwencji dystrybycje \( \hskip 0.3pc T_{x_0},\hskip0.3pc \) \( T^-\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc T^{\alpha},\hskip0.3pc \) przyjmują postać \( \hskip 0.3pc T(x-x_0)\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc T(-x)\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc T(\alpha x)\hskip 0.3pc \). W szczególności dystybucja \( \hskip 0.3pc \delta _{x_0}\hskip 0.3pc \) ma postać \( \hskip 0.3pc \delta (x-x_0)\hskip 0.3pc \).