Pojęcie funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina
W otaczającej nas rzeczywistości zarówno fizycznej jak i społecznej, występuje wiele zależności pomiędzy różnymi zjawiskami, obiektami czy wielkościami. Na przykład, podczas jazdy samochodem długość przebytej drogi zależy od czasu podróży. Każdej chwili odpowiada, przebyta dotąd droga. W sytuacji, gdy jedziemy ze stałą prędkością dystans ten możemy bardzo łatwo obliczyć mnożąc prędkość przez czas.
W sytuacji realnej najczęściej prędkość jest zmienna, jedziemy raz szybciej raz wolniej, co parę godzin zatrzymujemy się, jednakże i wówczas każdej chwili podróży możemy przyporządkować liczbę przejechanych kilometrów. Jako przykłady z innej dziedziny zauważmy, że każdemu członkowi danej społeczności (np. każdemu obywatelowi Polski) odpowiada jego data urodzenia.
Każdemu obywatelowi nadawany jest też numer identyfikacyjny PESEL, a każdemu studentowi danego wydziału AGH odpowiada numer jego indeksu (tzw. numer albumu). We wszystkich wspomnianych przykładach mamy do czynienia z odpowiedniością pomiędzy elementami dwóch zbiorów \( X \) oraz \( Y \) .
W przypadku podróży \( X \) oznacza przedział liczbowy określający czas jazdy od chwili początkowej, która może być przyjęta umownie, jako czas \( t=0 \) do końca podróży \( t=T \) . Możemy wówczas zapisać \( X=[0,T] \) ). \( Y \) to zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych wyrażających długość przebytej drogi (np. w kilometrach). W drugim i trzecim przykładzie \( X \) jest zbiorem wszystkich obywateli RP, a w czwartym zbiorem wszystkich studentów wydziału.
Zauważmy, że we wszystkich tych przypadkach każdemu elementowi \( x \) ze zbioru \( X \) odpowiada tylko jeden elementy ze zbioru \( Y \). Faktycznie, jeden człowiek nie może mieć dwóch różnych dat urodzenia, w każdej chwili podróży stwierdzamy, że przejechaliśmy konkretną liczbę kilometrów itd.Ta jedyność elementu \( y \) odpowiadającego danemu elementowi x ma kluczowe znaczenie w pojęciu funkcji.
Definicja 1: Funkcja
Niech będzą dane niepuste zbiory \( X \) i \( Y \).
Funkcją odwzorowującą zbiór \( X \) w zbór \( Y \) (co zapisujemy \( f:X\to Y \)) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi \( x \) ze zbioru \( X \) dokładnie jednego elementu \( y \) ze zbioru \( Y \). Element \( x \) ze zbioru \( X \) nazywamy argumentem funkcji a jedyny element \( y \) ze zbioru \( Y \), który został przyporządkowany elementowi \( x \) oznaczamy przez \( f(x) \) i nazywamy wartością funkcji \( f \) dla argumentu \( x \).
Zbiór \( X \) nazywamy dziedziną funkcji \( f \) i oznaczamy przez \( D_f \). Zbiór obrazów wszystkich argumentów czyli zbiór elementów \( \{f(x):x\in X\} \) nazywamy przeciwdziedziną lub zbiorem wartości funkcji \( f \) i oznaczamy \( \mathbb R_f \). Przeciwdziedzina jest zawsze podzbiorem zbioru \( Y \).
Uwaga 1: Oznaczenia i nazewnictwo
Jeżeli zbiory \( X \) i \( Y \) są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych \( \mathbb R \) to mówimy, że \( f \) jest funkcją rzeczywistą (myśląc o jej wartości ze zbioru liczb rzeczywistych) zmiennej rzeczywistej (myśląc o jej argumentach ze zbioru liczby rzeczywistych). Możemy, więc zanotować następującą definicję.
Definicja 2: Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej
Niech \( X \) oraz \( Y \) będą niepustymi podzbiorami liczb rzeczywistych \( \mathbb R \).
Funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej prowadzącą ze zbioru \( X \) w zbiór \( Y \) (co zapisujemy \( f:X\to Y \)) nazywamy przyporządkowanie każdej liczby \( x \) ze zbioru \( X \) dokładnie jednej liczby \( y \) ze zbioru \( Y \).
Uwaga 2:
Uwaga 3:
Definicja 3: Teoriomnogościowa definicja funkcji
Niech \( X \) i \( Y \) będą dowolnymi niepustymi zbiorami.
Funkcją o dziedzinie \( X \) i wartościach ze zbioru \( Y \) nazywamy zbiór \( f \) par uporządkowanych \( (x, y) \) takich, że pierwszy element pary należy do zbioru \( X \), a drugi do zbioru \( Y \) oraz zbiór par spełnia tzw. warunek prawostronnej jednoznaczności tzn. dla każdego elementu \( x \) ze zbioru \( X \) w zbiorze par \( f \) jest tylko jedna para mająca \( x \) na pierwszym miejscu.