Równanie Eulera-Lagrange’a
dla dowolnej funkcji \( \hskip 0.3pc h\in C^1([a,b])\hskip 0.3pc \) spełniającej warunek \( \hskip 0.3pc h(a) =h(b)=0,\hskip 0.3pc \) to \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) jest funkcją stałą.
Dowód. Połóżmy
Oczywiście \( \hskip 0.3pc h\in C^1([a,b]),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc h(a)=h(b)=0\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc h^\prime(x)=g(x)-c.\hskip 0.3pc \) Na mocy założenia
Zatem \( \hskip 0.3pc g(x)=c\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc x\in [a,b],\hskip 0.3pc \) co kończy dowód.
ZAŁOŻENIA:
Niech \( \hskip 0.3pc f\in C^1\big([a,b]\times \mathbb R^2\big).\hskip 0.3pc \) Niech funkcjonał \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) będzie dany wzoremw zbiorze \( \hskip 0.3pc {\cal M}\hskip 0.3pc \) funkcji dopuszczalnych danych wzorem
gdzie \( \hskip 0.3pc \alpha ,\beta \in \mathbb R.\hskip 0.3pc \) Załóżmy ponadto, że funkcja \( \hskip 0.3pc f_{u^\prime}\big(\cdot, u(\cdot ), u^\prime(\cdot )\big)\hskip 0.3pc \) jest różniczkowalna dla dowolnego \( \hskip 0.3pc u \in {\cal M}.\hskip 0.3pc \)
TEZA:
Wówczas \( \hskip 0.3pc u_0\in {\cal M}\hskip 0.3pc \) jest ekstremalą funkcjonału \( \hskip 0.3pc {\cal F} \hskip 0.3pc \) wtedy i tylko wtedy gdy
DOWÓD:
Niech \( \hskip 0.3pc u_0\in {\cal M},\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc h\in {\cal M}_0,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc {\cal M}_0\hskip 0.3pc \) jest dane wzorem
Połóźmy
Korzystając z przyjętego oznaczenia oraz wzoru na całkowanie przez części mamy
Przypuśćmy, że \( \hskip 0.3pc u_0\hskip 0.3pc \) jest punktem stacjonarnym, tzn. \( \hskip 0.3pc \delta{\cal F}(u_0)(h)=0\hskip 0.3pc \) dla dowolnego \( \hskip 0.3pc h \in. {\cal M}_0.\hskip 0.3pc \) Na mocy lematu 1
czyli
Różniczkując ostatnią równość względem \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) otrzymamy ( 3 ).
Przypuśćmy teraz, że dla pewnego \( \hskip 0.3pc u_0\in {\cal M}\hskip 0.3pc \) zachodzi równość ( 3 ). Niech \( \hskip 0.3pc h\in {\cal M}_0.\hskip 0.3pc \) Całkując w przedziale \( \hskip 0.3pc [a,b]\hskip 0.3pc \) równość
i wykorzystując wzór na całkowanie przez części względem pierwszej całki, otrzymamy
Stąd wynika natychmiast, że
nazywa się równaniem Eulera-Lagrange'a. Jest to podstawowe równanie w rachunku wariacyjnym.
ZAŁOŻENIA:
Niech \( \hskip 0.3pc f:[a,b]\times \mathbb R^2 \to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc \) i niech funkcjonał \( \hskip 0.3pc \cal F\hskip 0.3pc \) będzie dany wzorem ( 1 ). Niech \( \hskip 0.3pc u_0\in {\cal M}\hskip 0.3pc \) będzie ekstremalą funkcjonału \( \hskip 0.3pc {\cal F}.\hskip 0.3pc \)TEZA:
(i). Jeśli \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją wypukłą względem drugiej i trzeciej zmiennej, to funkcjonał \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) posiada w punkcie \( \hskip 0.3pc u_0\hskip 0.3pc \) minimum.
(ii). Jeśli \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją ściśle wypukłą względem drugiej i trzeciej zmiennej, to minimum to jest jedyne.DOWÓD:
Niech \( \hskip 0.3pc u_0\in {\cal M}\hskip 0.3pc \) będzie ekstremalą funkcjonału \( \hskip 0.3pc {\cal F}.\hskip 0.3pc \) Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest funkcją wypukłą względem drugiej i trzeciej zmiennej. Na mocy twierdzenia Tayloradla dowolnego \( \hskip 0.3pc h\in {\cal M}_0.\hskip 0.3pc \)
Całkując powyższą równość w przedziale \( \hskip 0.3pc [a,b]\hskip 0.3pc \) otrzymamy
Na mocy założenia o wypukłości \( \hskip 0.3pc d^2f(x,u_0+\theta h,u^\prime_0+\tilde{\theta }h^\prime)\geq 0,\hskip 0.3pc \) skąd wynika natychmiast, że
Załóżmy teraz, że funkcja \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest ściśle wypukła wypukłą względem drugiej i trzeciej zmiennej. Przypuśćmy, dla dowodu niewprost, że funkcjonał \( \hskip 0.3pc \cal F\hskip 0.3pc \) posiada również minimum w punkcie \( \hskip 0.3pc \tilde u.\hskip 0.3pc \) Połóżmy
Niech
Ponieważ na mocy wupukłości
więc
nie ma ekstremów w zbiorze funkcji klasy \( \hskip 0.3pc C^1([a,b])\hskip 0.3pc \) spełniających warunek \( \hskip 0.3pc u(a)=0,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc u(b)=1.\hskip 0.3pc \)
Istotnie, ponieważ funkcja \( \hskip 0.3pc f\big(x, u(x),u^\prime(x)\big)=u^2(x),\hskip 0.3pc \) równanie Eulera-Lagrange'a ma postać
Zatem ekstremalami naszego problemu są funkcje stałe. Ponieważ \( \hskip 0.3pc u(a)\neq u(b),\hskip 0.3pc \) żadna z nich nie może być rozwiązaniem rozważanego problemu.
Omówimy teraz szczególne równania Eulera-Lagrange'a.
W tej części modułu znajdziemy równania Eulera-Lagrange'a dla szczególnych postaci funkcjonału \( \hskip 0.3pc \cal F.\hskip 0.3pc \)
Przypadek 1. Przypuśćmy, że funkcja \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) nie zależy bezpośrednio od \( \hskip 0.3pc u,\hskip 0.3pc \) czyli
Wówczas równanie Eulera - Lagrange'a ma postać
lub
gdzie \( \hskip 0.3pc C \hskip 0.3pc \) jest dowolną stałą.
w klasie funkcji \( \hskip 0.3pc u\in C^1([a,b])\hskip 0.3pc \) spełniających warunki \( \hskip 0.3pc u(a)=\alpha, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc u(b)=\beta. \hskip 0.3pc \)
Zgodnie ze wzorem ( 4 ) równanie Eulera - Lagrange'a ma postać
a po przekształceniu
Całka ogólna ostatniego równania ma postać \( \hskip 0.3pc u=C_1x+C_2.\hskip 0.3pc \)
Po uwzględnieniu warunków \( \hskip 0.3pc u(a)=\alpha, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc u(b)=\beta \hskip 0.3pc \) otrzymamy równanie szukanej ekstremali
Ponieważ funkcja podcałkowa jest wypukła względem \( \hskip 0.3pc u^\prime\hskip 0.3pc \) - zgodnie z twierdzeniem 2 - na wyznaczonej ekstremali funkcjonał osiąga minimum.
Zauważmy jeszcze, że jeśli nie nałożymy warunków brzegowych, czyli rozważamy tzw. problem ze swobodnymi końcami, to funkcjonał osiąga minimum (równe \( \hskip 0.3pc b-a\hskip 0.3pc \)) dla dowolnej funkcji stałej \( \hskip 0.3pc u=C.\hskip 0.3pc \)
Przypadek 2. Przypuśćmy teraz, że funkcja \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) nie zależy bezpośrednio od \( \hskip 0.3pc x,\hskip 0.3pc \) czyli
Równanie Eulera - Lagrange'a ma postać
Zauważmy, że
Zatem
Jeśli zachodzi równanie ( 5 ) to prawa strona ostatniej równości jest równa zeru. Odwrotnie, jeśli lewa strona ostatniej równości jest równa zeru i \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) nie jest funkcją stałą, to zachodzi ( 5 ). Zatem równanie Eulera-Lagrange'a jest równoważne równaniu
a w konsekwencji równowaniu
W naszym przypadku
Równanie ( 6 ) przyjmie zatem postać
a po redukcji
w zbiorze funkcji \( \hskip 0.3pc u\in C^1([0,a])\hskip 0.3pc \) spełniających warunki: \( \hskip 0.3pc u(0)=0,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc u(a)=b.\hskip 0.3pc \)
Dla uproszczenia rachunków przyjmijmy \( \hskip 0.3pc v_0=0.\hskip 0.3pc \) Wówczas
Zgodnie z przykładem 3 (gdzie \( \hskip 0.3pc h(u)=1/\sqrt{2gu}\hskip 0.3pc \)) równanie Eulera - Lagrange'a ma postać
lub po stosownych przekształceniach
gdzie \( \hskip 0.3pc K=1/C^2.\hskip 0.3pc \) Po podstawieniu
czyli
równanie ( 7 ) przyjmie postać
Stąd
zaś różniczka
Podstawiając ostatnie wyrażenie do ( 8 ) otrzymamy
Stąd
Przyjmując
równości ( 9 ) i ( 10 ) przyjmą postać
Warunek \( \hskip 0.3pc u(0)=0\hskip 0.3pc \) (czyli \( \hskip 0.3pc u=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc x=0\hskip 0.3pc \)) oznacza, że
co daje \( \hskip 0.3pc t=0,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc C=0.\hskip 0.3pc \) Zatem
Warunek \( \hskip 0.3pc u(a)=b\hskip 0.3pc \) (czyli \( \hskip 0.3pc u=b\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc x=a\hskip 0.3pc \)) oznacza, że
Stąd
Połóżmy
Łatwo sprawdzić, że \( \hskip 0.3pc p\hskip 0.3pc \) jest funkcją rosnącą, \( \hskip 0.3pc \lim_{t\to 0^+}p(t)=0,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \lim_{t\to 2\pi^-}p(t)=+\infty.\hskip 0.3pc \) Wynika stąd, że równanie \( \hskip 0.3pc p(t)=a/b\hskip 0.3pc \) posiada w przedziale \( \hskip 0.3pc (0,\,2\pi )\hskip 0.3pc \) dokładnie jedno rozwiązanie, powiedzmy \( \hskip 0.3pc t_*.\hskip 0.3pc \)
Zatem równanie szukanej ekstremali możemy zapisać w postaci parametrycznej:
Otrzymana krzywa nosi nazwę cykloidy. Wykorzystując twierdzenie 2 można pokazać, że krzywa ta jest rozwiązaniem problemu brachistrony.
Przypadek 3. Rozważmy funkcjonał \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) postaci
Oczywiście
Ponieważ
równanie Eulera - Lagrange'a ma postać