Równanie niejednorodne struny
Rozważmy niejednorodne równanie struny
z warunkami początkowymi
Zauważmy wpierw, korzystając z liniowości operacji różniczkowania, że rozwiązanie \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \)problemu ( 1 ), ( 2 ) możemy zapisać jako sumę \( \hskip 0.3pc u=u_1+u_2,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc u_1\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu
zaś \( \hskip 0.3pc u_2\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu
W celu znalezienia rozwiązania problemu ( 3 ) rozważmy najpierw równanie
z warunkami początkowymi
Ponieważ warunek początkowy jest zadany w chwili \( \hskip 0.3pc t_0=\tau\hskip 0.3pc \), rozwiązanie problemu ( 4 ), ( 5 ) zależy od \( \hskip 0.3pc \tau,\hskip 0.3pc \) co symbolicznie będziemy zapisywać \( \hskip 0.3pc w(, \,; \tau).\hskip 0.3pc \)
Zauważmy, ze rozwiązanie problemu ( 4 ), ( 5 ) możemy wyrazić w postaci
Oczywiście \( \hskip 0.3pc w(x,t,t)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc x\in\mathbb R\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc t>0 \).
jest rozwiązaniem problemu ( 3 ).
Istotnie, różniczkując funkcje \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) względem \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) otrzymamy
oraz
zaś różniczkując dwukrotnie funkcje \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) względem \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) otrzymamy
Wykorzystując uzyskane wzory mamy
Na mocy lematu 1 oraz wzoru 4 z modułu "Rozwiązanie równania struny metodą d'Alemberta", rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) możemy zapisać w postaci
Rozważmy równanie
z warunkami początkowymi
oraz warunkiem brzegowym
Ponieważ warunki początkowe są zadane tylko dla \( \hskip 0.3pc x>0\hskip 0.3pc \), bezpośrednio nie możemy skorzystać z wzoru 4 z modułu "Rozwiązanie równania struny metodą d'Alemberta". Ponadto, jeśli \( \hskip 0.3pc g\neq 0\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc g^\prime\neq 0\hskip 0.3pc \), nie możemy również skorzystać z uwagi o przedłużaniu warunków początkowych. Możemy natomiast wykorzystać wzór 3 z modułu "Rozwiązanie równania struny metodą d'Alemberta". Zgodnie z tym wzorem
Dla \( \hskip 0.3pc x>0\hskip 0.3pc \) z warunku \( \hskip 0.3pc u(x,0)=0\hskip 0.3pc \) otrzymamy \( \hskip 0.3pc F(x)+G(x)=0,\hskip 0.3pc \) czyli
Zatem
Z kolei z warunku \( \hskip 0.3pc u_t(x,0)=0\hskip 0.3pc \) wynika, że \( \hskip 0.3pc F^\prime (x)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc x>0,\hskip 0.3pc \) a w konsekwencji \( \hskip 0.3pc F(x)=C.\hskip 0.3pc \)
Wykorzystując ostatni warunek mamy
Stąd i z warunku \( \hskip 0.3pc u(0,t)=g(t)\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t>0\hskip 0.3pc \) otrzymujemy
a kładąc \( \hskip 0.3pc s= -at\hskip 0.3pc \) mamy
Zatem
W konsekwencji
Znaleźć rozwiązanie problemu
spełniające warunki początkowe
oraz warunek brzegowy
Szukane rozwiązanie jest równe sumie rozwiązania \( \hskip 0.3pc u_1\hskip 0.3pc \) problemu ( 3 ), gdzie funkcja \( \hskip 0.3pc f(\cdot,t)\hskip 0.3pc \) jest rozszerzona na \( \hskip 0.3pc \mathbb R\hskip 0.3pc \) jako funkcja nieparzysta, oraz rozwiązania \( \hskip 0.3pc u_2\hskip 0.3pc \) problemu z przykładu 1. Zauważmy, że tak określone rozwiązanie \( \hskip 0.3pc u_1\hskip 0.3pc \) spełnia - zgodnie z uwagą 4 z modułu "Rozwiązanie równania struny metodą d'Alemberta" - warunek \( \hskip 0.3pc u_1(0,t)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t>0.\hskip 0.3pc \)