Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu jest diagonalizowalna
Rozważmy układ równań postaci
gdzie
Z kursu algebry liniowej wiemy, że macierz \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) jest diagonalizowalna jeżeli dla każdej watrości własnej wymiar podprzestrzeni własnej odpowiadającej tej wartości jest równy jej krotności.
Niech \( \hskip 0.3pc \lambda\hskip 0.3pc \) będzie wartością własną macierzy \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) o krotności \( \hskip 0.3pc k>1\hskip 0.3pc \) i wymiar podprzestrzeni własnejJeżeli układ wektorów \( \hskip 0.3pc \{v_1,\ldots ,\hskip 0.3pc v_k\}\hskip 0.3pc \) jest bazę przestrzeni \( \hskip 0.3pc V_\lambda\hskip 0.3pc \) to następujące funkcje
Przyjmujemy następujące oznaczemia dotyczące operacji na macierzach : zapis \( \hskip 0.3pc a\cdot w_i+b\cdot w_j\hskip 0.3pc \) oznacza, że mnożymy wiersz \( \hskip 0.3pc i \)-ty przez \( \hskip 0.3pc a\hskip 0.3pc \) i wiersz \( \hskip 0.3pc j \)-ty przez \( \hskip 0.3pc b\hskip 0.3pc \) i wynik zapisujemy w wierszu \( \hskip 0.3pc j\hskip 0.3pc \)-tym. Analogicznie w przypadku kolumn zapis \( \hskip 0.3pc a\cdot k_i+b\cdot k_j\hskip 0.3pc \) oznacza, że mnożymy kolumnę \( \hskip 0.3pc i \)-tą przez \( \hskip 0.3pc a\hskip 0.3pc \) i kolumnę \( \hskip 0.3pc j \)-tą przez \( \hskip 0.3pc b\hskip 0.3pc \) i wynik zapisujemy w kolumnie \( \hskip 0.3pc j \)-tej.
Wyznaczamy wartości własne macierzy \( \hskip 0.3pc A \):
\( \hskip 0.3pc \lambda_1=-3\hskip 0.5pc \) jest wartością własną o krotności jeden i \( \hskip 0.5pc \lambda_2=3 \) jest wartością własną o krotności dwa.
Wyznaczymy teraz kolejno podprzestrzenie własne \( \hskip 0.3pc V_1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc V_2 \) odpowiadające wartościom własnym \( \hskip 0.3pc \lambda_1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \lambda_2. \)
Jeśli \( \lambda_1=-3. \)
Wtedy
Zatem
Funkcja
jest rozwiązaniem układu \( \hskip 0.3pc (1)\hskip 0.3pc \) odpowiadającym wartości własnej \( \lambda_1. \)
Jeśli \( \lambda_2=3. \)
Wtedy
Zatem
Stąd wynika, że następujące funkcje
Fundamentalnym zbiorem rozwiązań dla układu \( \hskip 0.3pc (1)\hskip 0.3pc \) są funkcje \( \hskip 0.3pc \{x_1(t),\hskip 0.3pc x_2(t),\hskip 0.3pc x_3(t)\}. \)
Rozwiązanie ogólne układu \( \hskip 0.3pc (1)\hskip 0.3pc \) ma postać
gdzie \( c_1,\hskip 0.3pc c_2,\hskip 0.3pc c_3\hskip 0.3pc \) są to dowolne liczby rzeczywiste.