Symbole oznaczone i nieoznaczone w granicy funkcji
Obliczając granice funkcji poprzez zastąpienie jej argumentu wartością graniczną, do której zmierza argument, otrzymujemy symbole graniczne ujmowane w nawiasy kwadratowe, w celu zaznaczenia, że są to wyrażenia otrzymywane przy obliczaniu granic, a nie działania arytmetyczne na liczbach. Należy na tę symbolikę zwracać szczególną uwagę zwłaszcza w sytuacji, gdy otrzymujemy zero w mianowniku, albo wyrażenia zmierzające do nieskończoności. Niektóre z symboli granicznych dają zawsze ten sam wynik, bez względu na to w granicach jakich funkcji otrzymujemy określony symbol i nazywamy je symbolami oznaczonymi. Inne znów dają różne wyniki w zależności od funkcji, której granicę liczymy i takie symbole nazywamy nieoznaczonymi.
Definicja 1: Symbol oznaczony i nieoznaczony
Symbolem nieoznaczonym nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest umownym zapisem działań wykonywanych na granicach i którego wartości nie da się jednoznacznie obliczyć na podstawie jedynie granic funkcji składowych, z których powstaje symbol graniczny i wynik zależy od typu funkcji, w granicy której otrzymuje się dany symbol graniczny.
Uwaga 1:
Twierdzenie 1: o symbolach oznaczonych
Przykład 1:
Rozwiązanie:
\( \lim_{x\to \infty}{\frac{x+1}{x^2+1}}=\lim_{x\to \infty}{\frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}=\lim_{x\to \infty}{\frac{1}{x} \cdot \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}=\left[\frac{1}{\infty}\cdot \frac{1+\frac{1}{\infty}}{1+\frac{1}{\infty}}\right]=\left[0\cdot \frac{1+0}{1+0}\right]=0 \)
Przykład 2:
Rozwiązanie:
\( \lim_{x\to \infty}{\frac{2^{2x}+x^x}{4^{x-1}}}=\lim_{x\to \infty}{\left(\frac{4^x}{4^x\cdot \frac{1}{4}}+\frac{x^x}{4^x\cdot \frac{1}{4}}\right)}=\lim_{x\to \infty}{\left(4+4\cdot \left(\frac{x}{4}\right)^x\right)}=\left[4+4\cdot \left(\frac{\infty}{4}\right)^{\infty}\right]=[4+\infty]=\infty \)
Przykład 3:
Rozwiązanie:
Zauważmy, że \( \cos^2{x}\geq 0 \), czyli dla \( x \) zmierzających do \( -\frac{\pi}{2} \) funkcja \( \cos^2{x} \) zmierza do granicy \( 0 \) po wartościach dodatnich, co zapisujemy \( \lim_{x\to -\frac{\pi}{2}}{\cos^2{x}}=0^+ \). Obliczamy granicę
Twierdzenie 2: o symbolach nieoznaczonych
Przykład 4:
Rozwiązanie:
Wiemy, że \( \lim_{x\to 1}{(x-1)}=\lim_{x\to 1}{(x^2-1)}=\lim_{x\to 1}{(x^3-1)}=0 \).
Obliczamy dwie różne granice, które dają ten sam symbol nieoznaczony \( \left[\frac{0}{0}\right] \), ale różne wyniki końcowe
\( \lim_{x\to 1}{\frac{x-1}{x^2-1}}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to 1}{\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}}=\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x+1}}=\frac{1}{2} \)
\( \lim_{x\to 1}{\frac{x-1}{x^3-1}}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to 1}{\frac{x-1}{(x-1)(x^2+x+1)}}=\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x^2+x+1}}=\frac{1}{3} \).
Świadczy to o tym, że nie da się w sposób jednoznaczny okreslić wartości symbolu \( \left[\frac{0}{0}\right] \).
Przykład 5:
Rozwiąznie:
Znajdziemy dwie funkcje, które w granicach dają ten sam symbol graniczny \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \), ale różne wyniki końcowe
\( \lim_{x\to \infty}{\frac{x^2-2}{x^3-3}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{x\to \infty}{\frac{x^2\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}{x^3\left(1-\frac{3}{x^3}\right)}}=\lim_{x\to \infty}{\frac{1}{x}\cdot \frac{\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}{\left(1-\frac{3}{x^3}\right)}}=\left[\frac{1}{\infty}\cdot \frac{1-\frac{1}{\infty}}{1-\frac{1}{\infty}}\right]=0 \)
\( \lim_{x\to \infty}{\frac{x^3-3}{x^2-2}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim_{x\to \infty}{\frac{x^3\left(1-\frac{3}{x^3}\right)}{x^2\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}}=\lim_{x\to \infty}{x\cdot \frac{\left(1-\frac{3}{x^3}\right)}{\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}}=\left[\infty\cdot \frac{1-\frac{1}{\infty}}{1-\frac{1}{\infty}}\right]=\infty \)
Różne wyniki dowodzą, że nie da się w sposób jednoznaczny okreslić wartości symbolu \( \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \).
Przykład 6:
Rozwiąznie:
Znajdziemy dwie funkcje, które daja ten sam symbol graniczny \( \left[1^{\infty}\right] \), ale różne wyniki końcowe uzyskane za pomocą znanej granicy funkcji \( \lim_{x\to \infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}=e \).
\( \lim_{x\to \infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}}=\left[1^{\infty}\right]=\lim_{x\to \infty}{\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^2}=e^2 \)
\( \lim_{x\to \infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3x}}=\left[1^{\infty}\right]=\lim_{x\to \infty}{\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^3}=e^3 \)
Uwaga 2:
Przykład 7:
Rozwiazanie:
Zauważmy, że wyrażenie \( x+1 \) jest dodatnie dla \( x > -1 \) i ujemne dla \( x < -1 \), zatem \( \lim_{x\to (-1)^-}{(x+1)}=[0^-] \) oraz \( \lim_{x\to (-1)^+}{(x+1)}=[0^+] \). Obliczamy teraz granice jednostronne i sprawdzimy, czy są równe.
Przykład 8:
Rozwiązanie:
Pomocniczo obliczymy granice jednostronne wykładnika
\( \lim_{x\to 2^-}{\frac{1}{2-x}}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=+\infty \) oraz \( \lim_{x \to 2^+}{\frac{1}{2-x}}=\left[\frac{1}{0^-}\right]=-\infty \)
Skorzystamy z wykresu funkcji wykładniczej \( 2^x \), z którego odczytujemy \( \lim_{x\to +\infty}{2^x}=+\infty \) i \( \lim_{x\to -\infty}{2^x}=0 \).
Zatem