Twierdzenie o średniej całkowej funkcji
Twierdzenie 1: o średniej całkowej funkcji
Jeżeli \( f: [a,b] \to \mathbb{R} \) jest funkcją ciągłą, to istnieje element \( c \in [a,b] \) o tej własności, że
Liczbę \( f(c) \) nazywamy wówczas średnią całkową funkcji \( f \) w przedziale \( [a,b] \).
DOWÓD
Na wstępie zauważmy, że dzięki ciągłości funkcji \( f \) na mocy twierdzenia Weierstrassa wartości
są skończone. Wtedy dla dowolnego \( x \in [a,b] \) mamy \( m \leq f(x) \leq M \). Całkując te nierówności w granicach od \( a \) do \( b \), otrzymujemy
a zatem po przekształceniach
Ponieważ funkcja ciągła w przedziale \( [a,b] \) posiada własność Darboux, to dla każdej wartości \( y \in [m,M] \) istnieje taki argument \( x \in [a,b] \), że \( y=f(x) \). W szczególności dla zdefiniowanego powyżej elementu \( y_0 \) można znaleźć taki argument \( c \in [a,b] \),
że \( y_0=f(c) \), co oznacza, że
CND.