Własności granic ciągów
Rys. 1 przedstawia wykres ciągu, który jest zbieżny do granicy \( 2 \). Ponieważ wiemy z definicji granicy ciągu, że prawie wszystkie jego wyrazy leżą w przedziale \( [1,3] \) i poza tym przedziałem leży tylko skończona liczba wyrazów ciągu, więc jeżeli są wyrazy większe od \( 3 \), to żaden wyraz ciągu nie będzie większy niż największy z tych, które są większe od \( 3 \).
Analogicznie rozumujemy ograniczając ciąg od dołu albo przez liczbę \( 1 \), albo przez najmniejszy z wyrazów, które są mniejsze od \( 1 \).
Rys. 2 przedstawia wykres ciągu, który jest ograniczony, ale nie posiada granicy właściwej. Przykład ten pokazuje, że własność ograniczoności ciągu nie jest tożsama ze zbieżnością, czyli istnieją ciągi, które są ograniczone i nie mają granicy właściwej.
Rys. 3 przedstawia dwa ciągi, z których pierwszy jest rozbieżny do \( + \infty \), a drugi rozbieżny do \( - \infty \). Zauważamy, że prawie wszystkie wyrazy pierwszego ciągu są większe od dowolnej liczby rzeczywistej oraz prawie wszystkie wyrazy drugiego ciągu są mniejsze od dowolnej liczby rzeczywistej.
Jeżeli \( \lim_{ n \rightarrow \infty} a_n=- \infty \), to ciąg \( (a_n) \) nie jest ograniczony od dołu.
Rys. 4 pokazuje ciąg, którego nieskończenie wiele wyrazów leży dowolnie blisko liczby \( 1 \), ale również nieskończenie wiele wyrazów leży dowolnie blisko liczby \( -1 \).
Jeżeli wybierzemy \( \varepsilon \in (0,1) \), to poza przedziałami \( [ 1- \varepsilon, 1+ \varepsilon ] \) oraz \( [ -1- \varepsilon, -1+ \varepsilon ] \) leży zawsze nieskończenie wiele wyrazów ciągu, czyli liczby \( 1 \) ani \( -1 \) nie mogą być granicami ciągu. Tym bardziej granicą nie może być żadna inna liczba rzeczywista różna od \( 1 \) i \( -1 \). Pokazuje to, że nawet jeżeli nieskończenie wiele wyrazów ciągu skupia się wokół pewnej liczby rzeczywistej, to nie musi ona być granicą ciągu.
Twierdzenie 1: o jednoznaczności granicy ciągu
Rys. 5 przedstawia na jednym wykresie dwa ciągi zbieżne, z których jeden (czerwony) ma wyrazy od pewnego miejsca większe niż drugi (niebieski). Wydaje się być oczywiste, że granica ciągu o wyrazach większych nie może być mniejsza od granicy ciągu o wyrazach mniejszych. Już nie taki oczywisty jest fakt, że granice te mogą być równe, mimo, że pomiędzy wyrazami zachodzą nierówności silne.
Twierdzenie 2: o zachowaniu nierówności w granicy
Rys. 6 przedstawia dwa ciągi ograniczone, z których jeden jest rosnący (niebieski), a drugi malejący (czerwony). Zauważamy, że obydwa ciągi mają granice właściwe, ciąg rosnący i ograniczony od góry jest zbieżny do najmniejszego swojego ograniczenia górnego, a ciąg malejący i ograniczony od dołu jest zbieżny do największego swojego ograniczenia dolnego.
Twierdzenie 3: o ciągu ograniczonym i monotonicznym
Rozwiązanie:
Zbadamy monotoniczność ciągu wyznaczając znak różnicy \( a_{n+1}-a_n= \frac{1}{(n+1) \cdot 2^{n+1} }>0 \) dla wszystkich n naturalnych. Ponieważ różnica \( a_{n+1}-a_n \) jest dodatnia, to ciąg \( (a_n) \) jest rosnący.
Wystarczy teraz zbadać, czy ciąg jest ograniczony od góry, bo wiemy, że ciąg rosnący jest ograniczony od dołu przez pierwszy wyraz. Wykorzystujemy ograniczenie \( a_n= \frac{1}{1 \cdot 2^1 }+\frac{1}{2 \cdot 2^2}+ \cdots + \frac{1}{n \cdot 2^n} <\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2} + \cdots +\frac{1}{2^n} \) .
Zauważamy, że \( \frac{1}{2^1} +\frac{1}{2^2} + \cdots +\frac{1}{2^n} \) jest sumą ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \( \frac{1}{2} \) i ilorazie \( \frac{1}{2} \). Ze wzoru na \( n \)-tą sumę ciągu geometrycznego mamy \( \frac{1}{2^1} +\frac{1}{2^2} + \cdots +\frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} \frac{ 1-(\frac{1}{2})^n }{ 1-\frac{1}{2}}=1-(\frac{1}{2})^n<1 \).
Z powyższego oszacowania wnioskujemy, że ciąg \( (a_n) \) jest ograniczony, zatem twierdzenie mówi , że jest zbieżny.
Rozwiązanie:
Badamy monotoniczność ciągu \( (b_n) \) zauważając, że jest to ciąg o wyrazach dodatnich, czyli możemy badać iloraz
\( \frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{[(n+1)!]^2}{(2n+2)!} \frac{(2n)!}{(n!)^2} =\frac{[(n+1) \cdot n!]^2}{(2n+2) \cdot (2n+1) \cdot (2n)!} \frac{(2n)!}{(n!)^2} =\frac{n+1}{2(2n+1)}<1 \) .
Ponieważ iloraz \( \frac{b_{n+1}}{b_n} \) jest dla wszystkich \( n \) naturalnych mniejszy od jedynki, to ciąg \( (b_n) \) jest malejący.
Badamy teraz, czy ciąg \( (b_n) \) jest ograniczony od dołu, gdyż wiemy, że ciąg malejący jest ograniczony od góry przez pierwszy wyraz.
Zauważamy, że \( b_n=\frac{(n!)^2}{(2n)!}>0 \) dla wszystkich \( n \) naturalnych, zatem ciąg \( (b_n) \) jest ograniczony.
Na podstawie twierdzenia wnioskujemy, że ciąg \( (b_n) \) jest zbieżny.