Wzory rekurencyjne w całce z funkcji trygonometrycznych
Twierdzenie 1: Podstawowe wzory rekurencyjne
W poniższych wzorach zakładamy, że \( n,m > 1 \)
Przykład 1:
Stosując wzór rekurencyjny oblicz całkę
Skorzystajmy z twierdzenia Podstawowe wzory rekurencyjne, przyjmując we wzorze na \( \int \sin^{ n } (ax) dx, \) że \( n=6 \) i \( a=2 \)
Chcąc obliczyć całkę \( \int \sin^{ 4 } (2x) dx \) ponownie skorzystamy z wzoru z twierdzenia Podstawowe wzory rekurencyjne, tym razem przyjmując \( n=4 \) i nadal \( a=2 \)
Ostatecznie otrzymujemy
Przykład 2:
Stosując wzór rekurencyjny oblicz całkę
Przyjmując \( n=5 \) i \( a=1 \) w odpowiednim wzorze z twierdzenia Podstawowe wzory rekurencyjne mamy
Aby obliczyć \( \int \cos^3 x \,dx \) ponownie stosujemy wzór podstawiając \( n=3 \) i \( a=1 \)
Zatem
Uwaga 1:
Przykład 3:
Stosując wzór rekurencyjny oblicz całkę
Do rozwiązania całki posłużymy się wzorem z twierdzenia Podstawowe wzory rekurencyjne, który obniża stopień funkcji \( sinus \)
Natomiast całkę \( \int \sin x \cos^5 x \, dx \) obliczymy stosując podstawienie \( t=\cos x \):
Wracając do początkowej całki otrzymujemy