Zasada Duhamela
W modułach "Równanie niejednorodne struny", "Niejednorodne równanie fal kulistych", "Równanie fal walcowych. Metoda redukcji", "Problem poczatkowy dla równania ciepła" aby znaleźć rozwiązanie problemu niejednorodnego, rozważaliśmy najpierw pomocniczy problem jednorodny zależny od parametru, a następnie rozwiązanie problemu wyjściowego uzyskiwaliśmy całkując względem wspomnianego parametru rozwiązanie problemu pomocniczego. Zastosowaną metodę możemy sformułować nieco ogólniej, uzyskując tak zwaną zasadę Duhamela.
Rozważmy równanie
z warunkiem początkowym
oraz warunkiem brzegowym
gdzie \( \hskip 0.3pc \Omega\subset\mathbb R^n\hskip 0.3pc \), a \( \hskip 0.3pc L\hskip 0.3pc \) jest operatorem eliptycznym względem zmiennych przestrzennych.
Zauważmy, że w postawionym problemie funkcje \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \) zależą od zmiennej \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \). Rozważmy analog problemu ( 1 ) - ( 3 ) z funkcjami \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \) niezależnymi od \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \). Mianowicie, ustalmy \( \hskip 0.3pc \tau >0\hskip 0.3pc \) i rozważmy problem
Załóżmy, że problem ( 4 ) - ( 6 ) posiada rozwiązanie dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \tau >0\hskip 0.3pc \). Ponieważ zależy ono od parametru \( \hskip 0.3pc \tau \hskip 0.3pc \), oznaczmy go symbolem \( \hskip 0.3pc v=v(x,t;\tau )\hskip 0.3pc \). Twierdzimy, że funkcja
jest rozwiązaniem problemu ( 1 ) - ( 3 ).
Istotnie, warunki ( 2 ) i ( 3 ) są spełnione w oczywisty sposób. Wykonując różniczkowanie w ( 7 ), po uwzględnieniu ( 5 ), otrzymamy
Stąd oraz związków ( 4 ) i ( 7 ) dostajemy
co kończy dowód. Taką metodę konstrukcji rozwiązań nazywamy zasadą Duhamela.
spełniające warunki:
Rozważmy najpierw problem pomocniczy
Stosując metodę rozdzielania zmiennych, rozwiązanie problemu pomocniczego możemy wyrazić w postaci
Zgodnie z zasadą Duhamela szukane rozwiązanie ma postać