Całka z dowolnej funkcji wymiernej - kompletna procedura i przykłady
Definicja 1: Całka z funkcji wymiernej
Procedura obliczania całki z funkcji wymiernej:
- Jeżeli stopień wielomianu \( P(x) \) jest większy lub równy stopniowi wielomianu \( Q(x) \), to należy podzielić z resztą wielomian \( P(x) \) przez \( Q(x) \). W wyniku uzyskamy sumę wielomianu i ułamka wymiernego, w którym stopień licznika będzie mniejszy niż stopień mianownika.
- Następnie w ułamku wymiernym należy rozłożyć wielomian w mianowniku na czynniki liniowe lub nierozkładalne czynniki kwadratowe w pewnych potęgach.
- Po rozłożeniu mianownika ułamka wymiernego na czynniki należy ułamek wymierny rozłożyć na ułamki proste pierwszego lub drugiego rodzaju. Rozkład ten jest podyktowany obecnością czynników liniowych lub nierozkładalnych czynników kwadratowych w rozkładzie mianownika ułamka wymiernego na czynniki oraz ich krotnościami.
- Na koniec należy scałkować powstały wielomian oraz ułamki proste i jest to wynik całości.
Przykład 1:
Obliczmy całkę z funkcji wymiernej
Stąd
Otrzymaliśmy w ten sposób ułamek właściwy \( \frac{ 2x^3+x^2+2x+2 }{ x^4-3x^2-4 }, \) w którym stopień wielomianu w liczniku jest niższy niż stopień wielomianu z mianownika, a więc możemy przystąpić do rozłożenia wielomianu \( x^4-3x^2-4 \) na czynniki.
Aby rozłożyć na iloczyn wielomian \( x^4-3x^2-4, \) skorzystamy z podstawienia \( t=x^2 \) sprowadzając wielomian stopnia 4 do funkcji kwadratowej \( t^2-3t-4 \). Po obliczeniu \( \Delta=25 \) oraz miejsc zerowych \( t_1=-1, t_2=4, \) otrzymujemy postać iloczynową funkcji kwadratowej
Wracając do podstawienia \( t=x^2 \) oraz korzystając ze wzoru skróconego mnożenia dostajemy szukany rozkład na czynniki mianownika
Szukany rozkład na ułamki proste jest zatem następujący
Mnożąc powyższe równanie przez wspólny mianownik ( \( x^4-3x^2-4 \)), a następnie grupując wyrazy podobne otrzymujemy
Następnie porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej \( x \) dostajemy układ równań
a stąd \( A=1, \) \( B=1, \) \( C=0, \) i \( D=1. \)
Wówczas otrzymujemy
Przykład 2:
Obliczmy całkę z funkcji wymiernej
Zauważmy, że stopień wielomianów z licznika i mianownika jest taki sam a więc, aby móc rozłożyć funkcję wymierną na ułamki proste, musimy przekształcić ją najpierw do postaci sumy wielomianu i ułamka wymiernego.
Stąd
Następnie rozkładając mianownik ułamka \( \frac{ x+2 }{ x^3-x } \) na czynniki
otrzymujemy rozkład na ułamki proste
Mnożąc powyższe równanie przez mianownik lewej strony (tj. \( x^3-x \)) otrzymujemy równanie