Dodatek: Obwody RC i RL, stałe czasowe
Obwód RC
Na Rys. 1 pokazany jest obwód złożony z opornika \( R \), pojemności \( C \) i idealnego (bez oporu wewnętrznego) źródła napięcia (SEM) \( \varepsilon \).
Celem naładowania kondensatora zamykamy wyłącznik do pozycji (a). Prąd jaki popłynie w obwodzie \( RC \) obliczamy, korzystając z prawa Kirchoffa, zgodnie z którym
lub
Ponieważ \( I = dQ/dt \) więc
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja \( Q(t) \) postaci
Natomiast prąd w obwodzie obliczamy z zależności \( I = dQ/dt \)
Obie zależności zostały pokazane na Rys. 2 oraz Rys. 3.
Z przedstawionych wykresów widać, że ładunek na kondensatorze narasta, a prąd maleje eksponencjalnie z czasem. Szybkość tych zmian zależy od wielkość \( \tau = RC \), która ma wymiar czasu i jest nazywana stałą czasową obwodu.
Jeżeli teraz w obwodzie przełączymy wyłącznik do pozycji (b) to będziemy rozładowywać kondensator. Teraz w obwodzie nie ma źródła SEM i prawo Kirchoffa dla obwodu przyjmuje postać
lub
Ponieważ \( I = dQ/dt \) więc
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja \( Q(t) \) postaci
Natomiast prąd w obwodzie obliczamy z zależności \( I = dQ/dt \)
Zarówno ładunek jak i prąd maleją eksponencjalnie ze stałą czasową \( \tau=RC \).
Obwód RL
Analogicznie, jak w obwodzie \( RC \), opóźnienie w narastaniu i zanikaniu prądu obserwuje się w obwodzie \( RL \) przy włączaniu lub wyłączaniu źródła SEM.
Gdyby w obwodzie znajdował się tylko opornik \( R \), to po ustawieniu wyłącznika w pozycji (a) prąd osiągnąłby natychmiast wartość \( \varepsilon /R \). Obecność indukcyjności \( L \) w obwodzie powoduje, że pojawia się dodatkowo SEM samoindukcji \( \varepsilon_{L} \), która zgodnie z regułą Lenza przeciwdziała wzrostowi prądu co oznacza, że jej zwrot jest przeciwny do \( \varepsilon \).
Zgodnie z prawem Kirchoffa
lub
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja \( I(t) \) postaci
Prąd w obwodzie narasta eksponencjalnie ze stałą czasową \( \tau=L/R \). Podobnie rośnie napięcie na oporniku \( R \)
Natomiast napięcie na indukcyjności \( L \) maleje z tą samą stałą czasową
Jeżeli po ustaleniu się prądu w obwodzie, przestawimy przełącznik do pozycji (b) to wyłączmy źródło SEM i spowodujemy zanik prądu w obwodzie. Ponownie jednak indukcyjność \( L \) powoduje, że prąd nie zanika natychmiastowo.
Spadek prądu obliczamy ponownie na podstawie prawa Kirchoffa (równanie( 12 ) ) uwzględniając, że \( \varepsilon=0 \)
Rozwiązanie tego równania ma postać
Obserwujemy zanik prądu, ponownie ze stałą czasową \( \tau=L/R. \)