Drgania Rezonans

Drgania wymuszone i rezonans

W ruchu harmonicznym tłumionym amplituda, a co za tym idzie i energia drgań maleje z czasem do zera. Jeżeli chcemy podtrzymać drgania to musimy działać odpowiednią siłą zewnętrzną $ F(t) $ przyłożoną do oscylatora. Siłę taką nazywamy siłą wymuszającą. W przypadku drgań harmonicznych zewnętrzna siła wymuszająca jest siłą okresowo zmienną postaci

(1)

$ F(t)=F_{{0}}\sin{\omega t} $

Zwróćmy uwagę na to, że siła wymuszająca działa przez cały czas i nie należy jej mylić z krótkotrwałymi impulsami takimi jakie na przykład stosujemy gdy chcemy podtrzymać wahania huśtawki popychając raz na jakiś czas.

Jeżeli uwzględnimy siłę wymuszającą to zgodnie z drugą zasadą dynamiki

(2)

$ {ma}=-{kx}-\gamma\frac{{dx}}{{dt}}+F(t) $

lub korzystając z równań Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( 2 ) i Ruch na płaszczyźnie-( 3 )

(3)

$ m\frac{d^{{2}}x}{{dt}^{{2}}}=-{kx}-\gamma\frac{{dx}}{{dt}}+F(t) $

Po podstawieniu wyrażenia na siłę wymuszającą ( 1 ) i wprowadzeniu nowych stałych

(4)

$ \tau =\frac{m}{\gamma }\;,\;\;\omega_{{0}}^{{2}}=\frac{k}{m}\;\;\text{oraz}\;\;\alpha_{{0}}=\frac{F_{{0}}}{m} $

otrzymujemy równanie analogiczne do równania Oscylator harmoniczny tłumiony-( 4 ) dla ruchu tłumionego

(5)

$ \frac{d^{{2}}x}{{dt}^{{2}}}+\frac{1}{\tau}\frac{{dx}}{{dt}}+\omega _{{0}}^{{2}}x=\alpha_{{0}}\sin{\omega t} $

Ponownie $ \omega_{0} $ jest częstością własną układu, to jest częstością drgań swobodnych gdy nie działa siła zewnętrzna i nie ma tarcia ani innych sił oporu, a $ \tau $ stałą czasową związaną ze współczynnikiem tłumienia $ \beta $ relacją $ {\beta =1/2\tau } $. Zauważmy ponadto, że układ jest zasilany z częstością $ \omega $ różną od częstości własnej $ \omega_{0} $. W takiej sytuacji

Wniosek 1:

Drgania (wymuszone) odbywają się z częstością siły zewnętrznej, a nie z częstością własną.

W równaniu ( 5 ) mamy dwie wielkości okresowo zmienne: położenie $ x(t) $ oraz siłę wymuszającą $ F(t) $. W najogólniejszym przypadku suma (złożenie) dwóch funkcji okresowych daje w wyniku też funkcję okresową, jak pokazuje Rys. 1.

Rysunek 1: Złożenie dwóch funkcji okresowych.

(6)

$ A_{{1}}\cos{\omega t}+A_{{2}}\sin{\omega t}=A\sin({\omega t}+\varphi) $

Szukamy więc rozwiązania równania ( 5 ) w postaci

(7)

$ x(t)=A\sin({\omega t}+\varphi) $

Jak widać z porównania równań ( 1 ) i powyższego równania ( 7 ) przesunięcie fazowe $ \varphi $ mówi nam o jaki kąt maksimum przemieszczenia wyprzedza maksimum siły (czyli o ile są przesunięte względem siebie funkcje sinus opisujące wychylenie ( 7 ) i siłę ( 1 ) ).

Żeby znaleźć rozwiązanie musimy wyznaczyć amplitudę $ A $ oraz przesunięcie fazowe $ \varphi $. W tym celu obliczamy odpowiednie pochodne funkcji ( 7 ) i podstawiamy do równania
( 5 ).

Więcej o wyznaczeniu $ A $ oraz $ \varphi $ możesz przeczytać w module Dodatek: Amplituda i faza w ruchu harmonicznym wymuszonym.

W wyniku otrzymujemy warunek na przesunięcie fazowe

(8)

$ \frac{\sin\varphi }{\cos\varphi}={tg}\varphi =\frac{\omega /\tau }{\omega_{{0}}^{{2}}-\omega ^{{2}}}=\frac{2\beta\omega }{\omega _{{0}}^{{2}}-\omega ^{{2}}} $

i wyznaczamy amplitudę

(9)

$ A=\frac{\alpha _{{0}}}{[(\omega _{{0}}^{{2}}-\omega^{{2}})^{{2}}+(\omega /\tau )^{{2}}]^{{1/2}}}=\frac{\alpha_{{0}}}{[(\omega _{{0}}^{{2}}-\omega ^{{2}})^{{2}}+4\beta ^{{2}}\omega^{{2}}]^{{1/2}}} $

Łącząc powyższe wzory otrzymujemy rozwiązanie

(10)

$ x(t)=\frac{\alpha _{{0}}}{[(\omega _{{0}}^{{2}}-\omega^{{2}})^{{2}}+4\beta ^{{2}}\omega^{{2}}]^{{1/2}}}\;\sin\left({\omega t}+{ar}{ctg}\frac{2{{\beta\omega}}}{\omega _{{0}}^{{2}}-\omega ^{{2}}}\right) $

Równanie wygląda skomplikowanie ale pamiętajmy, że jest to rozwiązanie postaci $ {x(t)=A\sin({\omega t}+\varphi)} $.

Rezonans

Zauważmy, że chociaż drgania odbywają się z częstością $ \omega $ siły wymuszającej to amplituda i faza zależą od relacji pomiędzy częstością wymuszającą $ \omega $, a częstością własną $ \omega_0 $. W szczególności gdy siła wymuszająca osiągnie odpowiednią częstotliwość, to amplituda drgań może wzrosnąć gwałtownie nawet przy niewielkiej wartości siły wymuszającej. To zjawisko nazywamy rezonansem.

Wykres przedstawiający rezonansowy wzrost amplitudy drgań w funkcji częstości siły wymuszającej pokazany jest na Rys. 2, dla różnych wartości współczynnika tłumienia $ \beta $.

$: Krzywe rezonansu dla różnych wartości współczynnika tłumienia {OPENAGHMATHJAX()}\beta \; (\beta_0 < \beta_1 < \beta_{2} < \beta_{3} < \beta_{4}) {OPENAGHMATHJAX}$

Rysunek 2: Krzywe rezonansu dla różnych wartości współczynnika tłumienia $ \beta \; (\beta_0 < \beta_1 < \beta_{2} < \beta_{3} < \beta_{4}) $

Liniami przerywanymi zaznaczono częstości rezonansowe to jest wartości częstości siły wymuszającej, dla której amplituda drgań jest maksymalna. Odpowiadająca jej amplituda nazywana jest amplitudą rezonansową.

Częstość rezonansową $ \omega_{r} $ i amplitudę rezonansową $ A_{r} $ możemy obliczyć z warunku na maksimum amplitudy drgań danej wzorem ( 9 ).

Funkcja $ A(\omega) $ osiąga maksimum dla częstości rezonansowej $ \omega_{r} $

(11)

$ \omega _{{r}}=\sqrt{\omega _{{0}}^{{2}}-2\beta ^{{2}}} $

Podstawiając tę wartość do wzoru na amplitudę otrzymujemy wyrażenie na amplitudę rezonansową $ A_{r} $

(12)

$ A_{{r}}=\frac{\alpha _{{0}}}{2\beta \sqrt{\omega _{{0}}^{{2}}-\beta^{{2}}}} $

Widzimy, że dla drgań swobodnych, nietłumionych $ \beta \rightarrow 0 $ częstość rezonansowa $ \omega_{r} $ jest równa częstości drgań swobodnych $ \omega_{0} $, a amplituda rezonansowa $ A_{r} \rightarrow \infty $. W miarę wzrostu tłumienia wartość amplitudy rezonansowej $ A_{r} $ maleje, a częstość rezonansowa przesuwa się w stronę częstości mniejszych od $ \omega_{0} $. Dla bardzo dużego tłumienia rezonans nie występuje, maksymalna amplituda występuje dla częstości bliskiej zeru.

Dla drgań swobodnych, dla których $ \omega_{r} = \omega_0 $ przesunięcie fazowe pomiędzy siłą, a wychyleniem, dane równaniem ( 8 ) jest równe $ \varphi = \pi/2 $. Oznacza to, że siła wymuszająca nie jest zgodna w fazie z wychyleniem. Zauważmy jednak, że moc pochłaniana przez oscylator zasilany siłą wymuszającą $ F $ zależy od prędkości

(13)

$ P = Fv $

Warunek uzyskania rezonansu odpowiada maksimum mocy pochłanianej przez oscylator. Trzeba więc, zgodnie z powyższym wzorem, żeby to prędkość (a nie wychylenie) była zgodna w fazie z siłą, a to oznacza, że siła musi wyprzedzać wychylenie o $ \pi/2 $.

Więcej o mocy absorbowanej przez oscylator możesz przeczytać w module Moc absorbowana przez oscylator.

Na poniższym filmie przedstawiono przykład wystąpienia rezonansu w układzie wahadeł. UWAGA: Na filmie we wzorze na okres drgań wahadła jest błąd w ułamku pod pierwiastkiem. Poprawny zapis to: l - długość wahadła powinno być w liczniku, g - przyśpieszenie ziemskie w mianowniku.

Skutki rezonansu mogą być zarówno pozytywne jak i negatywne. Z jednej strony staramy się wyeliminować przenoszenie drgań na przykład z silnika na elementy nadwozia w samochodzie, a z drugiej strony działanie odbiorników radiowych i telewizyjnych jest możliwe dzięki wykorzystaniu rezonansu elektrycznego. Dostrajając odbiornik do częstości nadajnika spełniamy właśnie warunek rezonansu. Zjawisko rezonansu jest bardzo rozpowszechnione w przyrodzie.

Słynnym negatywnym skutkiem wystąpienia rezonansu jest zawalenie się mostu Tacoma w USA w 1940 roku. Film przedstawiający tę katastrofę budowlaną można znaleźć m.in w serwisie YouTube

Symulacja 1: Rezonans

Pobierz symulację

Obserwuj rezonans w harmonicznych oscylatorach wymuszonych z tłumieniem. Zmieniaj częstotliwość wymuszającą, amplitudę, współczynnik tłumienia, masę oscylatora i sprężystość sprężyny. Obserwuj różnice faz oscylatorów poniżej i powyżej rezonansu.

Autor: PhET Interactive Simulations University of Colorado

Licencja: Creative Commons Attribution 3.0 United States

Temat:
Opis:
Typ:

Email: