Granice jednostronne i WKW istnienia granicy funkcji

Definicja 1: Lewostronne sąsiedztwo punktu

Lewostronnym sąsiedztwem punktu \( x_0 \in \mathbb{R} \) nazywamy dowolny przedział otwarty, którego prawym końcem jest punkt \( x_0 \).

Definicja 2: Prawostronne sąsiedztwo punktu

Prawostronnym sąsiedztwem punktu \( x_0\in \mathbb{R} \) nazywamy dowolny przedział otwarty, którego lewym końcem jest punkt \( x_0 \).

Uwaga 1: Oznaczenie sąsiedztwa

Lewostronne sąsiedztwo punktu \( x_0\in \mathbb{R} \) oznaczamy przez \( S_-(x_0)=(x_0-\epsilon, x_0) \), dla pewnego \( \epsilon > 0 \) a prawostronne sąsiedztwo punktu \( x_0\in \mathbb{R} \) przez \( S_+(x_0)=(x_0,x_0+\epsilon) \) dla pewnego \( \epsilon > 0 \).

Definicja 3: Definicja Cauchy'ego właściwej granicy lewostronnej funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja \( f\colon D_f\to \mathbb{R} \) ma granicę lewostronną w punkcie \( x_0 \) równą \( g \), jeżeli dla dowolnego otoczenia punktu \( g\in \mathbb{R} \) da się dobrać lewostronne sąsiedztwo punktu \( x_0 \) zawarte w dziedzinie funkcji tak, aby dla wszystkich argumentów z tego sąsiedztwa, wartości funkcji dla tych argumentów wpadały do otoczenia punktu \( g \).

Rysunek 1: Interpretacja geometryczna definicji Cauchy'ego granicy lewostronnej funkcji w punkcie

Rys. 1 przedstawia wykres funkcji \( f \) z zaznaczonym na osi odciętych punktem \( x_0 \), w którym funkcja nie ma wartości, ale w lewostronnym sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę \( g \). Chcemy pokazać, że liczba \( g \) jest granicą lewostronną funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \). W tym celu bierzemy dowolne \( \epsilon > 0 \) i wyznaczamy przedział \( (g-\epsilon,g+\epsilon) \), który przedłużamy do pasa wzdłuż osi odciętych. Wyznaczamy punkty przecięcia prostych \( y=g-\epsilon \) i \( y=g+\epsilon \) z wykresem funkcji \( f \), które rzutujemy prostopadle na oś odciętych. Przez \( \delta \) oznaczymy odległość punktu \( x_0 \) od tego ze zrzutowanych punktów, który leży na lewo od punktu \( x_0 \). Pokazujemy, że dla dowolnego argumentu \( x \) należącego do przedziału \( (x_0-\delta,x_0) \) wartość funkcji \( f \) dla tego argumentu \( f(x) \) wpada do przedziału \( (g-\epsilon,g+\epsilon) \), co spełnia warunki definicji Cauchy’ego granicy lewostronnej funkcji w punkcie.

Definicja 4: Definicja Cauchy'ego właściwej granicy prawostronnej funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja \( f\colon D_f\to \mathbb{R} \) ma granicę prawostronną w punkcie \( x_0 \) równą \( g \), jeżeli dla dowolnego otoczenia punktu \( g\in \mathbb{R} \) da się dobrać prawostronne sąsiedztwo punktu \( x_0 \) zawarte w dziedzinie funkcji tak, aby dla wszystkich argumentów z tego sąsiedztwa, wartości funkcji dla tych argumentów wpadały do otoczenia punktu \( g \).

Rysunek 2: Interpretacja geometryczna definicji Cauchy'ego granicy prawostronnej w punkcie

Rys. 2 przedstawia wykres funkcji \( f \) z zaznaczonym na osi odciętych punktem \( x_0 \), w którym funkcja nie ma wartości, ale w prawostronnym sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę \( g \). Chcemy pokazać, że liczba \( g \) jest granicą prawostronną funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \). W tym celu bierzemy dowolne \( \epsilon > 0 \) i wyznaczamy przedział \( (g-\epsilon,g+\epsilon) \), który przedłużamy do pasa wzdłuż osi odciętych. Wyznaczamy punkty przecięcia prostych \( y=g-\epsilon \) i \( y=g+\epsilon \) z wykresem funkcji \( f \), które rzutujemy prostopadle na oś odciętych. Przez \( \delta \) oznaczymy odległość punktu \( x_0 \) od tego ze zrzutowanych punktów, który leży na prawo od punktu \( x_0 \). Pokazujemy, że dla dowolnego argumentu \( x \) należącego do przedziału \( (x_0,x_0+\delta) \) wartość funkcji \( f \) dla tego argumentu \( f(x) \) wpada do przedziału \( (g-\epsilon,g+\epsilon) \), co spełnia warunki definicji Cauchy’ego granicy prawostronnej funkcji w punkcie.

Uwaga 2: Oznaczenie granicy lewostroonej w punkcie

Granicę lewostronną funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) oznaczamy przez \( \lim_{x\to x_0^-}{f(x)} \), a granicę prawostronną przez \( \lim_{x\to x_0^+}{f(x)} \).

Powyższe definicje możemy zapisać symbolicznie

\( \lim_{x\to x_0^-}{f(x)}=g \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( \forall_{\epsilon > 0}\exists_{\delta > 0}\forall_{x\in D_f}\ \left(0 < x_0-x < \delta \Rightarrow \left|f(x)-g\right| < \epsilon\right) \)

\( \lim_{x\to x_0^+}{f(x)}=g \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( \forall_{\epsilon > 0}\exists_{\delta > 0}\forall_{x\in D_f}\ \left(0 < x-x_0 < \delta \Rightarrow \left|f(x)-g\right| < \epsilon\right) \)

Definicja 5: Defincija Heinego właściwej granicy lewostronnej funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja \( f\colon X\to \mathbb{R} \) ma granicę lewostronną w punkcie \( x_0 \) równą \( g \), jeżeli dla dowolnego ciągu \( (x_n) \) argumentów funkcji \( f \) o wyrazach mniejszych od \( x_0 \) zbieżnego do granicy \( x_0 \), ciąg wartości funkcji \( f \) dla wyrazów ciągu \( (x_n) \) ma granicę równą \( g \).

Rysunek 3: Interpretacja geometryczna definicji Heinego granicy lewostronnej funkcji w punkcie

Rys. 3 przedstawia wykres funkcji \( f \) z zaznaczonym na osi odciętych punktem \( x_0 \), w którym funkcja nie ma wartości, ale w lewostronnym sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę \( g \). Chcemy pokazać, że liczba \( g \) jest lewostronną granicą funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \). W tym celu wybieramy kolejne wyrazy ciągu argumentów funkcji \( f \) \( x_1,x_2,x_3,\dots \) mniejsze od \( x_0 \) który ma granicę \( x_0 \) i zaznaczamy na osi rzędnych wartości funkcji \( f \) dla tych argumentów. Sprawdzamy, czy ciąg wartości funkcji \( f(x_n) \) lokalizuje się wokół liczby \( g \). Jeżeli tak jest, to spełniony jest warunek definicji Heinego.

Definicja 6: Definicja Heinego właściwej granicy prawostronnej funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja \( f\colon X\to \mathbb{R} \) ma granicę prawostronną w punkcie \( x_0 \) równą \( g \), jeżeli dla dowolnego ciągu \( (x_n) \) argumentów funkcji \( f \) o wyrazach większych od \( x_0 \) zbieżnego do granicy \( x_0 \), ciąg wartości funkcji \( f \) dla wyrazów ciągu \( (x_n) \) ma granicę równą \( g \).

Rysunek 4: Interpretacja geometryczna definicji Heinego granicy prawostronnej funkcji w punkcie

Rys. 4 przedstawia wykres funkcji \( f \) z zaznaczonym na osi odciętych punktem \( x_0 \), w którym funkcja nie ma wartości, ale w prawostronnym sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę \( g \). Chcemy pokazać, że liczba \( g \) jest prawostronną granicą funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \). W tym celu wybieramy kolejne wyrazy ciągu argumentów funkcji \( f \) \( x_1,x_2,x_3,\dots \) większe od \( x_0 \) który ma granicę \( x_0 \) i zaznaczamy na osi rzędnych wartości funkcji \( f \) dla tych argumentów. Sprawdzamy, czy ciąg wartości funkcji \( f(x_n) \) lokalizuje się wokół liczby \( g \). Jeżeli tak jest, to spełniony jest warunek definicji Heinego.

Uwaga 3:

Powyzsze definicje możemy zapisać symbolicznie

\( \lim_{x\to x_0^-}{f(x)}=g \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( \forall_{x_n\in S_-(x_0)}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0\Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=g\right) \)

\( \lim_{x\to x_0^+}{f(x)}=g \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( \forall_{x_n\in S_+(x_0)}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0\Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=g\right) \)

Definicja 7: Heinego niewłaściwej granicy lewostronnej funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja \( f\colon X\to \mathbb{R} \) ma granicę lewostronną w punkcie \( x_0 \) równą \( \pm\infty \), jeżeli dla dowolnego ciągu \( (x_n) \) argumentów funkcji \( f \) o wyrazach mniejszych od \( x_0 \) zbieżnego do granicy \( x_0 \), ciąg wartości funkcji \( f \) dla wyrazów ciągu \( (x_n) \) jest rozbieżny do \( +\infty \) albo do \( -\infty \).

Rysunek 5: Interpretacja geometryczna definicji Heinego niewłaściwej granicy lewostronnej

Rys. 5 przedstawia wykres funkcji określonej w lewostronnym sąsiedztwie liczby \( 2 \) oraz metodę wyznaczania granicy niewłaściwej funkcji w punkcie \( x_0=2 \) korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg zbieżny do \( x_0=2 \) (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg rozbieżny do \( -\infty \), to funkcja ma granicę niewłaściwą \( -\infty \) w punkcie \( x_0=2 \), co zachodzi w przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać, czy dla dowolnej prostej o równaniu \( y=-A \) znajdziemy lewostronne sąsiedztwo punktu \( x_0=2 \) takie, że dla argumentów z tego sąsiedztwa wykres funkcji leży poniżej prostej.

Definicja 8: Heinego niewłaściwej granicy prawostronnej funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja \( f\colon X\to \mathbb{R} \) ma granicę prawostronną w punkcie \( x_0 \) równą \( \pm\infty \), jeżeli dla dowolnego ciągu \( (x_n) \) argumentów funkcji \( f \) o wyrazach większych od \( x_0 \) zbieżnego do granicy \( x_0 \), ciąg wartości funkcji \( f \) dla wyrazów ciągu \( (x_n) \) jest rozbieżny do \( +\infty \) albo do \( -\infty \).

Rysunek 6: Interpretacja geometryczna definicji Heinego niewłaściwej granicy prawostronnej

Rys. 6 przedstawia wykres funkcji określonej w prawostronnym sąsiedztwie liczby \( 0 \) oraz metodę wyznaczania granicy niewłaściwej funkcji w punkcie \( x_0=0 \) korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg zbieżny do \( x_0=0 \) (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg rozbieżny do \( +\infty \), to funkcja ma granicę niewłaściwą \( +\infty \) w punkcie \( x_0=0 \), co zachodzi w przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać, czy dla dowolnej prostej o równaniu \( y=A \) znajdziemy prawostronne sąsiedztwo punktu \( x_0=0 \) takie, że dla argumentów z tego sąsiedztwa wykres funkcji leży powyżej prostej.

Uwaga 4:

Powyzsze definicje możemy zapisać symbolicznie

\( \lim_{x\to x_0^-}{f(x)}=\pm\infty \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( \forall_{x_n\in S_-(x_0)}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0\Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=\pm \infty\right) \)

\( \lim_{x\to x_0^+}{f(x)}=\pm \infty \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( \forall_{x_n\in S_+(x_0)}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0\Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=\pm \infty\right) \)

Uwaga 5:

Zauważmy, że nie da się zdefiniować jednostronnych granic funkcji w nieskończoności, ponieważ \( +\infty \) nie ma prawostronnego sąsiedztwa, a \( -\infty \) nie ma sąsiedztwa lewostronnego.

Twierdzenie 1: WKW istnienia granicy funkcji

Funkcja \( f \) ma w punkcie \( x_0 \) granicę właściwą równą \( g \) wtedy i tylko wtedy, gdy obydwie granice jednostronne w punkcie \( x_0 \) równe są \( g \).

\( \lim_{x\to x_0}{f(x)}=g \iff \lim_{x\to x_0^+}{f(x)}=g=\lim_{x\to x_0^-}{f(x)} \)

Uwaga 6:

Warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy funkcji prawdziwy jest również dla granic niewłaściwych funkcji w punkcie.

Przykład 1:

Zbadaj istnienie granicy \( \lim_{x\to 1}{\frac{|x-1|^5}{x^5-x^3}} \).

Rozwiązanie:

Badamy granice jednostronne funkcji w punkcie \( x_0=1 \) uwzględniając znak wyrażenia pod wartością bezwzględną
\( |x-1|=\begin{cases} {x-1,\textrm{dla }x \geq 1}\atop {-(x-1),\textrm{dla }x < 1}\end{cases}. \)

\( \lim_{x\to 1^+}{\frac{|x-1|^5}{x^5-x^3}}=\lim_{x\to 1^+}{\frac{(x-1)^5}{x^5-x^3}}=\lim_{x\to 1^+}{\frac{(x-1)^5}{x^3\left(x^2-1\right)}}=\lim_{x\to 1^+}{\frac{(x-1)^4}{x^3\left(x+1\right)}}=\left[\frac{0}{1\cdot (1+1)}\right]=0 \)
\( \lim_{x\to 1^-}{\frac{|x-1|^5}{x^5-x^3}}=\lim_{x\to 1^-}{\frac{-(x-1)^5}{x^5-x^3}}=\lim_{x\to 1^-}{\frac{-(x-1)^5}{x^3\left(x^2-1\right)}}=\lim_{x\to 1^-}{\frac{-(x-1)^4}{x^3\left(x+1\right)}}=\left[\frac{0}{1\cdot (1+1)}\right]=0 \)
Obydwie granice jdnostronne są równe, czyli \( \lim_{x\to 1}{\frac{|x-1|^5}{x^5-x^3}}=0 \).

Przykład 2:

Zbadaj istnienie granicy \( \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{x}-\sin^2{x}}{2x-\pi}} \).

Badamy granice jednostronne w punkcie \( \frac{\pi}{2} \)
\( \lim_{x\to \frac{\pi}{2}^+}{\frac{\cos{x}-\sin^2{x}}{2x-\pi}}=\left[\frac{-1}{0^+}\right]=-\infty \hspace{5cm} \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{x}-\sin^2{x}}{2x-\pi}}=\left[\frac{-1}{0^-}\right]=+\infty \)

Ponieważ granice jednostronne są różne granica funkcji \( \frac{\cos^{x}-\sin^2{x}}{2x-\pi} \) w punkcie \( \frac{\pi}{2} \) nie istnieje.

Przykład 3:

Oblicz granice jednostronne w punkcie \( x_0 \) funkcji \( f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{x} \)

Rozwiązanie:
Korzystamy z faktu, że \( \lim_{x\to 0^+}{\frac{1}{x}}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=+\infty \) oraz \( \lim_{x\to 0^-}{\frac{1}{x}}=\left[\frac{1}{0^-}\right]=-\infty \).
z wykresu funkcji wykładniczej \( e^x \) odczyujemy, że \( \lim_{x\to +\infty}{e^x}=+\infty \) i \( \lim_{x\to -\infty}{e^x}=0 \).
Obliczamy granice jednostronne
\( \lim_{x\to 0^+}{\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{x}}=\left[\frac{e^{-\infty}-1}{0^+}\right]=\left[\frac{-1}{0^+}\right]=-\infty \hspace{5cm} \lim_{x\to 0^-}{\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{x}}=\left[\frac{e^{+\infty}-1}{0^-}\right]=\left[\frac{+\infty}{0^-}\right]=-\infty \).
Ponieważ granice jednostronne są takie same, to \( \lim_{x\to 0}{\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{x}}=-\infty \).

Przykład 4:

Oblicz granice jednostronne w punkcie \( x_0=\frac{\pi}{2} \) funkcji \( f(x)=\left(x-arcctg{\frac{1}{2\pi-4x}}\right) \).

Rozwiazanie:
Korzystamy z faktu, że \( \lim_{x\to \frac{\pi}{2}^+}{\frac{1}{2\pi - 4x}}=\left[\frac{1}{0^-}\right]=-\infty \) oraz \( \lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}{\frac{1}{2\pi - 4x}}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=+\infty \).
Z wykresu funkcji cyklometrycznej \( arcctg{x} \) odczytujemy \( \lim_{x\to +\infty}{arcctg{x}}=0 \) i \( \lim_{x\to -\infty}{arcctg{x}}=\pi \).
Obliczamy granice jednostronne
\( \lim_{x\to \frac{\pi}{2}^+}{\left(x-arcctg{\frac{1}{2\pi-4x}}\right)}=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2} \hspace{5cm} \lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}{\left(x-arcctg{\frac{1}{2\pi-4x}}\right)}=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2} \)
Ponieważ granice jednostronne sa różne, to funkcja \( \left(x-arcctg{\frac{1}{2\pi-4x}}\right) \) nie ma granicy w punkcie \( \frac{\pi}{2} \).

Temat:
Opis:
Typ:

Email: