Interferencja fal z wielu źródeł
Interferencja i doświadczenie Younga-( 2 ) opisujące położenie kątowe maksimów interferencyjnych w doświadczeniu Younga z dwoma punktowymi szczelinami może posłużyć do wyznaczenia długości fali światła monochromatycznego. W praktyce jest to jednak trudne, bo ze względu na małe natężenia światła nie można w sposób dokładny wyznaczyć położenia maksimów interferencyjnych. Dlatego do wyznaczenia długości fali świetlnej stosuje się układ wielu równoległych do siebie szczelin czyli siatkę dyfrakcyjną.
Na Rys. 1 pokazany jest układ \( N \) szczelin odległych od siebie o \( d \). Odległość d nazywamy stałą siatki dyfrakcyjnej.
Obraz powstały przy oświetleniu siatki dyfrakcyjnej składa się z serii prążków interferencyjnych podobnie jak dla dwóch szczelin. Na Rys. 2 rozkład natężeń dla \( N \) = 5 szczelin jest porównany z wynikiem uzyskanym w doświadczeniu Younga dla dwóch szczelin.
Z tego porównania wynika, że nie zmienia się odległości pomiędzy głównymi maksimami (przy zachowaniu odległości między szczelinami \( d \) i długości fali \( \lambda \)). Położenia maksimów głównych nie zależą więc od \( N \). Nastąpił natomiast bardzo wyraźny wzrost natężenia maksimów głównych, ich zwężenie oraz pojawiły się wtórne maksima pomiędzy nimi.
Maksima główne występują, gdy różnica dróg optycznych promieni wychodzących z sąsiednich szczelin (zob. Rys. 1 ) zawiera całkowitą liczbę długości fal \( \lambda \) czyli gdy spełniony jest warunek
Wzór ten jest identyczny jak Interferencja i doświadczenie Younga-( 2 ) opisujące położenie kątowe maksimów interferencyjnych dla dwóch szczelin. Tym razem jednak ścisłe określenie położenia maksimów interferencyjnych jest łatwiejsze ze względu na ich większe natężenie i mniejszą szerokość.
W miarę wzrostu liczby szczelin siatki maksima główne stają się coraz węższe, a maksima wtórne zanikają i dlatego w praktyce stosuje się siatki dyfrakcyjne zawierające nawet kilka tysięcy szczelin, w których odległość między szczelinami jest rzędy tysięcznych części milimetra. Natężenie maksimów głównych ma wartość \( {I=I_{{0}}N^{{2}}} \) czyli \( N^{ 2} \) razy większe niż dla pojedynczego źródła.
Położenie kątowe maksimum pierwszego rzędu otrzymujemy z warunku ( 1 ) dla \( m \) = 1
gdzie stała siatki dyfrakcyjnej \( d \) = 1cm/4000 = 2.5 \( \mu \)m.
Wykonujemy teraz obliczenia kąta \( \theta \) kolejno dla obu długości fal, a następnie obliczamy ich różnicę. Otrzymujemy kolejno \( \theta \) = 13.6270° (dla \( \lambda \) = 589.00 nm) i , \( \theta \) = 13.6409° (dla \( \lambda \) = 589.59 nm).
Stąd \( \Delta \theta \) = 0.0139°.
Treść zadania:
Oceń czy ta odległość kątowa jest wystarczająca, żeby rozróżnić te dwie linie na ekranie odległym o \( D \) = 1 m od siatki? W jakiej odległości \( D \) trzeba ustawić ekran, żeby odległość między tymi prążkami wyniosła \( \Delta y \) = 1mm?Wskazówka: Położenie \( y \) linii na ekranie możemy obliczyć ze związku \( \text{tg} \theta = y/D \).
\( {\Delta y} \) =
Możliwość rozróżnienia maksimów obrazów dyfrakcyjnych dla dwóch fal o niewiele różniących się długościach decyduje o jakości siatki dyfrakcyjnej. Mówimy, że siatka powinna mieć dużą zdolność rozdzielczą, którą definiujemy jako
gdzie \( \lambda \) jest średnią długością fali dwóch linii ledwie rozróżnialnych, a \( \Delta \lambda \) różnicą długości fal miedzy nimi. Widać, że im mniejsza \( \Delta \lambda \) tym lepsza zdolność rozdzielcza.
Praktyczne działanie jednowymiarowej siatki dyfrakcyjnej na promień lasera przedstawia film: