Zbadaj zbieżność szeregu \( \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n \ln ⁡n} \).

Rozwiązanie:

Rozważymy funkcję \( f(x)= \frac{1}{x \ln x} \), która jest ciągła, malejąca i dodatnia w przedziale \( \lbrack 2, \infty) \).

Badamy zbieżność całki niewłaściwej \( \int_2^{\infty}\frac{1}{x \ln x} dx \).

\( \lim_{b \rightarrow \infty} \int_2^b \frac{1}{x \ln x} dx=\begin{vmatrix} t = \ln x \cr dt= \frac{1}{x} dx \cr x=2 \rightarrow t= \ln 2 \cr x=b \rightarrow t= \ln b \end{vmatrix} =\lim_{b \rightarrow \infty} \int_{\ln ⁡2}^{\ln ⁡b} \frac{1}{t} dt = \lim_{b \rightarrow \infty} ( \ln t|_{\ln 2}^{\ln b})=\lim_{b \rightarrow \infty} ⁡(\ln ⁡(\ln b) - \ln⁡ (\ln 2) ) =\infty \).

Zatem całka \( \int_2^{\infty}\frac{1}{x \ln x} dx \) jest rozbieżna i na podstawie kryterium całkowego szereg \( \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n \ln ⁡n} \) jest też rozbieżny.

Zbadaj zbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1} \).

Rozwiązanie:

Rozważymy funkcję \( f(x)=\frac{x}{x^2+1} \), która jest ciągła, malejąca i dodatnia w przedziale \( \lbrack1, \infty) \).

Badamy zbieżność całki \( \int_1^{\infty} \frac{x}{x^2+1} dx \).

\( \lim_{b \rightarrow \infty}\int_1^b \frac{x}{x^2+1} dx=\lim_{b \rightarrow \infty} ( \frac{1}{2} \ln ⁡(x^2+1) |_1^b)=\lim_{b \rightarrow \infty} ( \frac{1}{2} \ln ⁡(b^2+1)⁡ - \frac{1}{2} \ln 2) = \infty \)

Zatem całka \( \int_1^{\infty} \frac{x}{x^2+1} dx \) jest rozbieżna, tak więc szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1} \) też jest rozbieżny.

Wykaż, że szereg harmoniczny rzędu \( \alpha \), jest rozbieżny dla \( \alpha \in (0,1] \) i zbieżny dla \( \alpha >1 \).
Rozwiązanie:
Rozważamy szereg harmoniczny rzędu \( \alpha \), czyli szereg postaci \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \),dla \( \alpha >0 \).
Badamy zbieżność szeregu z kryterium całkowego, rozważając funkcję \( f(x)=\frac{1}{x^{\alpha}} \), która jest ciągła, dodatnia i malejąca dla \( \alpha >0 \) i \( x \geqslant 1 \).
Badamy zbieżność całki \( \int_1^{\infty}\frac{1}{x^{\alpha}} dx \).
\( \lim_{b \rightarrow \infty} \int_1^b \frac{1}{x^{\alpha}} dx=\lim_{b \rightarrow \infty} \begin{cases} \frac{x^{- \alpha + 1}}{-\alpha+1}|_1^b & \text{ dla } \alpha =\mathrel{\llap{/\,}} 1\cr\ln x|_1^b & \text{ dla } \alpha =1 \end{cases}= \lim_{b \rightarrow \infty} \begin{cases} \frac{1}{(1-\alpha)b^{\alpha-1}}-\frac{1}{1-\alpha} & \text{ dla } \alpha =\mathrel{\llap{/\,}} 1\cr\ln b & \text{ dla } \alpha =1\end{cases} =\begin{cases} \frac{-1}{1-\alpha} & \text{ dla } \alpha > 1\cr \infty & \text{ dla } \alpha \in (0,1)\cr \infty & \text{ dla } \alpha =1 \end{cases} \). Całka \( \int_1^{\infty}\frac{1}{x^{\alpha}} dx \) jest zatem zbieżna dla \( \alpha >1 \), a rozbieżna dla \( \alpha \in (0,1] \), czyli dla \( \alpha >1 \) szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \) jest zbieżny, a dla \( \alpha \in (0,1] \) szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \) jest rozbieżny.