Macierz wykładnicza i jej własności
Przez \( \hskip 0.3pc M(n\times n,\hskip 0.3pc\mathbb{C})\hskip 0.3pc \) będziemy oznaczać zbiór macierzy o wymiarach \( \hskip 0.3pc n\times n\hskip 0.3pc \) i wartościach zespolonych.
Definicja 1:
Normę w przestrzeni \( \hskip 0.3pc M(n\times n,\hskip 0.3pc\mathbb{C})\hskip 0.3pc \) określamy następująco:
Łatwo zauważyć, że zachodzi nierówność
Dla \( \hskip 0.3pc t\in \mathbb{R}\hskip 0.3pc \) definiujemy ciąg macierzy \( \hskip 0.3pc\{S_k(t)\}\hskip 0.3pc \)
Elementy macierzy \( \hskip 0.3pc S_k(t)\hskip 0.3pc \) będziemy oznaczać \( \hskip 0.3pc b_{ij}^{(k)}(t)\hskip 0.3pc \)
Dla dowolnego ustalonego \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) ciąg \( \hskip 0.3pc\{S_k(t)\}\hskip 0.3pc \) jest ciągiem Cauchy'ego to znaczy, że dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \varepsilon >0\hskip 0.3pc \) istnieje \( \hskip 0.3pc N\hskip 0.3pc \) takie, że dla \( \hskip 0.3pc k,m\ge N\hskip 0.3pc \) zachodzi nierówność
Istotnie dla \( \hskip 0.3pc m>k\hskip 0.3pc \) mamy
Z kryterium zbieżności d'Alemberta wynika, ze szereg liczbowy
Ponieważ dla każdego \( \hskip 0.6pc i,\hskip 0.3pc j=1,\ldots ,\hskip 0.3pc n\hskip 0.6pc \) mamy nierówność
więc z uwagi 1 wynika, że ciąg \( \hskip 0.3pc \{b_{ij}^{(k)}(t)\}\hskip 0.3pc \) jest ciągiem Cauchy'ego.
Zatem istnieje granica tego ciągu
Definicja 2:
Istotnie, ponieważ szereg
jest zbieżny niemal jednostajnie w \( \hskip 0.3pc\mathbb{R},\hskip 0.3pc \) więc możemy różniczkować go wyraz po wyrazie. Zatem mamy, że
Zauważmy ponadto, że zachodzi równość \( \hskip 0.3pc Ae^{tA}=e^{tA}A. \)
Dla dowolnej macierzy \( \hskip 0.3pc M(n\times n,\hskip 0.3pc\mathbb{C})\hskip 0.3pc \) i dowolnych liczb \( \hskip 0.3pc s,\hskip 0.3pc t\in \mathbb{R}\hskip 0.3pc \) zachodzi równość
Istotnie, ze wzoru na pochodną iloczynu i uwagi 2 mamy:
Zatem wartość iloczynu \( \hskip 0.3pc e^{(s+t)A}e^{-tA}\hskip 0.3pc \) nie zależy od \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) i jest równa wartości dla \( \hskip 0.3pc t=0\hskip 0.3pc \)
Stąd dla \( \hskip 0.3pc s=0\hskip 0.3pc \) mamy
więc \( \hskip 0.3pc e^{-tA}\hskip 0.3pc \) jest macierzą odwrotną do macierzy \( \hskip 0.3pc e^{tA}\hskip 0.3pc \)
Mnożąc obie strony równości ( 4 ) przez \( \hskip 0.3pc e^{tA}\hskip 0.3pc \), otrzymujemy równość \( \hskip 0.3pc (3)\hskip 0.3pc \).
Dla dowolnych macierzy \( \hskip 0.3pc A,\hskip 0.3pc B\in M(n\times n,\hskip 0.3pc\mathbb{C})\hskip 0.3pc \): jeżeli \( \hskip 0.3pc AB=BA,\hskip 0.3pc \) to
Istotnie z uwagi 2 mamy
Ponieważ \( \hskip 0.6pc AB=BA,\hskip 0.6pc \) to \( \hskip 0.6pc AB^i=B^iA,\hskip 0.4pc \) dla \( \hskip 0.3pci=1,\ldots ,n,\hskip 0.3pc \) więc
Zatem
czyli \( \hskip 0.3pc e^{t(A+B)}e^{-tB}e^{-tA}\hskip 0.3pc \) nie zależy od \( \hskip 0.3pc t,\hskip 0.3pc \) więc jest równe wartości dla \( \hskip 0.3pc t=0\hskip 0.3pc \)
Mnożąc obustronnie powyższą równość kolejno przez \( \hskip 0.3pc e^{tA}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc e^{tB}\hskip 0.3pc \) otrzymamy zależność ( 6 )
Uwaga 5:
Macierz \( \hskip 0.3pc e^{tA}\hskip 0.3pc \) jest macierzą fundamentalną układu równań
gdzie
Wynika to bezpośrednio z uwagi 2.
Zatem rozwiązanie ogólne układu ( 7 ) przy użyciu macierzy \( \hskip 0.3pc e^{tA}\hskip 0.3pc \) można zapisać następująco:
Natomiast rozwiązanie równania ( 7 ) z warunkiem początkowym \( \hskip 0.3pc x(t_0)=x_0\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc x_0=\begin{bmatrix}x_{01}\\ \vdots \\x_{0n}\end{bmatrix}\hskip 0.3pc \) można zapisać następująco: