Metoda charakterystyk - przykłady
Na poniższym przykładzie prześledzimy różne sposoby praktycznego wykorzystania metody charakterystyk, które umownie nazwiemy metodą krzywych charakterystycznych, metodą charakterystyk, metodą zmiany zmiennych oraz metodą całek pierwszych.
Znaleźć rozwiązanie równania
przechodzące przez krzywą
otrzymamy
Załóżmy, że charakterystyka przechodzi przez punkt \( \hskip 0.3pc (s,s+1,2) \hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t=0. \hskip 0.3pc \) Wynika stąd, że
Zatem równania charakterystyk przechodzących przez zadaną krzywą mają postać
Eliminując z tego układu \( \hskip 0.3pc s \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc t, \hskip 0.3pc \) otrzymamy rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 )
z warunkami początkowymi \( \hskip 0.3pc x(0)=1,\hskip 0.3pc y(0)=y_0, \hskip 0.3pc \) otrzymamy
a po wyrugowaniu \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \)
Rozwiązując pozostałe równanie charakterystyk
otrzymamy
gdzie stała \( \hskip 0.3pc C \hskip 0.3pc \) zależy od krzywej \( \hskip 0.3pc \dfrac yx =y_0. \hskip 0.3pc \) Fakt ten możemy zapisać w postaci
gdzie \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1. \hskip 0.3pc \) Wracając do zmiennych \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y \hskip 0.3pc \) otrzymamy
Uwzględniając zadane warunki mamy
Podstawiając \( \hskip 0.3pc \tau =1+\dfrac 1s \hskip 0.3pc \) otrzymamy
Zatem szukane rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) ma postać
otrzymamy \( \hskip 0.3pc y=Cx. \hskip 0.3pc \) Zmiana zmiennych
sprowadza równanie wyjściowe do postaci
Rozwiązując to równanie otrzymamy
gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Wracają do zmiennych wyjściowych otrzymamy całkę ogólną równania wyjściowego
Uwzględniając warunek początkowy \( \hskip 0.3pc u(s,s+1)=2 \hskip 0.3pc \) otrzymamy
Kładąc \( \hskip 0.3pc t=\dfrac{s+1}{s}, \hskip 0.3pc \) czyli \( \hskip 0.3pc s=\dfrac{1}{t-1}, \hskip 0.3pc \) mamy
Zatem \( \hskip 0.3pc F(t)=2(t-1).\hskip 0.3pc \) Stąd szukane rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) ma postać
otrzymamy rodziny charakterystyk
Ponieważ funkcje \( \hskip 0.3pc \psi_1 = \dfrac yx, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \psi_2 =\dfrac ux \hskip 0.3pc \) są funkcyjnie niezależnmi całkami pierwszymi układu równań charakterystyk
zgodnie z wzorem Metoda charakterystyk dla równań liniowych o n-zmiennych niezależnych-( 8 ) całka ogólna równania wyjściowego ma postać
gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest dowolną różniczkowalną funkcją dwóch zmiennych. Zauważmy, że wzór na całkę ogólną możemy formalnie zapisać w postaci \( \hskip 0.3pc F(C_1,C_2)=0, \hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc C_1 =\psi_1,\hskip0.3pc C_2 =\psi_2.\hskip 0.3pc \) Aby znaleźć całkę szczególną przechodzącą przez zadaną krzywą należy wyznaczyć funkcje \( \hskip 0.3pc F. \hskip 0.3pc \) W tym celu wystarczy wyznaczyć związek pomiędzy \( \hskip 0.3pc C_1 \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc C_2. \hskip 0.3pc \) Możemy go uzyskać rugując \( \hskip 0.3pc s,\hskip 0.3pcx,\hskip 0.3pc y \hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) z równań
Po przeprowadzeniu prostych rachunków otrzymamy
Podstawiając w miejsce \( \hskip 0.3pc C_1 \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc C_2 \hskip 0.3pc \) stosowne funkcje mamy
Stąd otrzymujemy rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 )
Zadanie 1:
Treść zadania:
Znaleźć rozwiązanie równaniaZadanie 2:
Treść zadania:
Znaleźć całkę ogólną równaniaZadanie 3:
Treść zadania:
Znaleźć rozwiązanie ogólne równaniaZadanie 4:
Treść zadania:
Znaleźć całkę ogólną równaniaZadanie 5:
Treść zadania:
Znaleźć rozwiązanie równania