Oscylator harmoniczny tłumiony
W przypadku drgań mechanicznych siłą hamującą ruch cząstki są tak zwane opory ruchu. Przykładem może tu być opór powietrza. Siła oporu ma zwrot przeciwny do prędkości i w najprostszej postaci jest wprost proporcjonalna do prędkości \( F_{op}\propto v \)
Jeżeli oprócz siły sprężystości uwzględnimy siłę hamującą to równanie opisujące ruch oscylatora harmonicznego przyjmie teraz postać
lub
Jeżeli wprowadzimy nową stałą \( {\tau =m/\gamma } \) (o wymiarze czasu) tak zwaną stałą czasową oraz oznaczymy częstość drgań nietłumionych czyli częstość własną \( {\omega_{{0}}=\sqrt{k/m}} \) to równanie opisujące ruch przyjmie postać
Szukamy rozwiązania tego równania w postaci drgań okresowo zmiennych tłumionych na przykład
Proponowane rozwiązanie zawiera czynnik oscylacyjny \( {\cos(\omega t)} \) opisujący drgania i czynnik tłumiący \( {e^{{-{\beta t}}}} \) opisujący zmniejszanie się amplitudy drgań.Współczynnik \( {\beta =1/2\tau } \) określający wielkość tłumienia nazywamy współczynnikiem tłumienia.Więcej o wpływie tłumienia na ruch drgający możesz przeczytać w module Równanie ruchu harmonicznego tłumionego.Żeby sprawdzić czy zaproponowana funkcja jest rozwiązaniem równania ruchu ( 4 ) obliczamy odpowiednie pochodne i podstawiamy je do równania ruchu. W wyniku otrzymujemy warunek na częstość drgań tłumionych
Funkcja ( 5 ) jest rozwiązaniem równania opisującego ruch harmoniczny tłumiony przy warunku ( 6 ). Widzimy, że opór zmniejsza zarówno amplitudę jak i częstość drgań, czyli powoduje spowolnienie ruchu. Wielkość tłumienia określa współczynnik tłumienia \( \beta \) (lub stała czasowa \( \tau \)). Wykres ruchu harmonicznego tłumionego w zależności od czasu jest pokazany na poniższym rysunku.
!!!!Straty mocy, współczynnik dobrociStraty energii wynikające z tłumienia opisuje się za pomocą tzw. współczynnika dobroci \( Q \):
Kilka typowych wartości \( Q \) zestawiono w poniższej tabeli.$$$openaghTableAttributeS$$$anchor="tab:Osc_harm_tl:1"&caption="Wybrane wartości współczynnika dobroci Q"$$$openaghTableAttributeE$$$
\( T=-{\gamma v}=-\gamma \frac{{dx}}{{dt}} \)
\( ma=-kx-\gamma\frac{dx}{dt} \)
\( m\frac{d^{{2}}x}{dt^2}=-kx-\gamma\frac{dx}{dt} \)
\( \frac{d^{{2}}x}{{dt}^{{2}}}+\frac{1}{\tau}\frac{{dx}}{{dt}}+\omega _{{0}}^{{2}}x=0 \)
\( x={Ae}^{{-{\beta t}}}{cos}{\omega t} \)
\( \omega =\sqrt{\omega _{{0}}^{{2}}-\beta ^{{2}}} \)
Rysunek 1: Zależność przemieszczenia od czasu w ruchu harmonicznym tłumionym. Linie przerywane ilustrują wykładnicze tłumienie amplitudy tego ruchu.
Równanie ( 5 ) opisuje sytuację, w której pomimo strat energii zachowany zostaje oscylacyjny charakter ruchu. Ma to miejsce tylko wtedy gdy spełniony jest warunek \( \beta < \omega_0 \) to znaczy dla słabego tłumienia. Tylko wtedy równanie ( 6 ) opisuje częstotliwość drgań. Jednak gdy tłumienie (opór) stanie się dostatecznie duże ruch przestaje być ruchem drgającym, a ciało wychylone z położenia równowagi powraca do niego asymptotycznie tzw. ruchem pełzającym (aperiodycznym), a równanie ( 5 ) nie jest już rozwiązaniem równania ruchu. Odpowiada to warunkowi \( \beta > \omega_0 \) co w praktyce oznacza, że siła tłumiąca jest bardzo duża. Dzieje się tak na przykład gdy ruch odbywa się w bardzo gęstym ośrodku. Szczególny przypadek odpowiada sytuacji gdy \( \beta = \omega_{0} \). Mówimy wtedy o tłumieniu krytycznym.Wykresy ruchu tłumionego krytycznie i ruchu pełzającego są pokazane na rysunku poniżej ( Rys. 2 ).Rysunek 2: Ruch pełzający \( \beta > \omega_{0} \) i tłumiony krytycznie \( \beta = \omega_{0} \).
Symulacja 1: Drgania tłumione
Pobierz symulacjęProgram przedstawia ruch wahadła matematycznego w zależności od długości wahadła i amplitudy drgań oraz wartości współczynnika tłumienia. W zależności od wybranej opcji można obserwować ruch drgający tłumiony lub pełzający.
Autor: Zbigniew Kąkol, Jan Żukrowski
Definicja 1: Współczynnik dobroci
Współczynnik dobroci \( Q \) definiujemy jako
gdzie \( P \) jest średnią stratą mocy, \( f \) częstotliwością drgań.
\( Q=2\pi\frac{E_{\text{zmagazynowana}}}{E_{\text{stracona w 1 okresie}}}= 2 \pi\frac{E}{P/f}=\frac{E}{P/\omega } \)
Tabela 1
| Oscylator | QZiemia dla fali sejsmicznej | 250-400Struna fortepianu lub skrzypiec | 1000Atom wzbudzony | \( 10^{7} \)Jądro wzbudzone | \( 10^{12} \) |