Płaszczyzny w trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej

Definicja 1: Wektor normalny płaszczyzny

Wektor $ \overrightarrow{n} $ jest prostopadły do płaszczyzny $ \pi $, jeżeli dla dowolnych dwóch jej punktów $ A $ i $ B $ wektory $ \overrightarrow{AB} $ oraz $ \overrightarrow{n} $ są prostopadłe.

Każdy niezerowy wektor prostopadły do płaszczyzny nazywamy wektorem normalnym tej płaszczyzny (zob. Rys. 1 ).

$Płaszczyzna $\pi$ i jej wektor normalny.$

Rysunek 1: Płaszczyzna $\pi$ i jej wektor normalny.

Równanie normalne płaszczyzny

Równanie płaszczyzny $ \pi $ przechodzącej przez punkt $ P\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) $ oraz prostopadłej do niezerowego wektora $ \overrightarrow{n}=\left( A,B,C\right) $ ma postać

(1)

$ \pi: \hspace{2em} A\left( x-x_{0}\right) +B\left( y-y_{0}\right) +C\left(z-z_{0}\right) =0. $

Jest to tzw. równanie normalne płaszczyzny.

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty

Każde trzy niewspółliniowe (nieleżące na jednej prostej) punkty $ P_{i}\left( x_{i},y_{i},z_{i}\right) $, gdzie $ i=1,2,3 $, wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę $ \pi $, która je zawiera. Równanie tej płaszczyzny ma postać:

(2)

$ \pi:\hspace{2em}\left \vert \begin{matrix}x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1}\\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1}\\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{matrix} \right \vert =0. $

Jest to tzw. wyznacznikowe równanie płaszczyzny.

Równanie odcinkowe płaszczyzny

Równanie

(3)

$ \pi:\hspace{2em}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1, $

w którym $ a,b,c $ są liczbami różnymi od zera, nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny $ \pi $.

Płaszczyzna opisana równaniem ( 3 ) przecina osie $ Ox,Oy $ oraz $ Oz $ układu współrzędnych $ Oxyz $ w punktach równych odpowiednio $ P_{x}\left( a,0,0\right) $, $ P_{y}\left( 0,b,0\right) $, $ P_{z}\left(0,0,c\right) $.

$Płaszczyzna przecinająca osie układu w punktach $P_x(a,0,0), P_y(0,b,0), P_z(0,0,c)$.$

Rysunek 2: Płaszczyzna przecinająca osie układu w punktach $P_x(a,0,0), P_y(0,b,0), P_z(0,0,c)$.

Równanie parametryczne płaszczyzny

Równanie płaszczyzny $ \pi $ przechodzącej przez punkt $ P\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) $ i równoległej do dwóch niezerowych, nierównoległych wektorów $ \overrightarrow{v}=\left( v_{x},v_{y},v_{z}\right) $ oraz $ \overrightarrow{w}=\left( w_{x},w_{y},w_{z}\right) $ ma postać:

(4)

$ \pi:\hspace{2em}\left\{ \begin{matrix}x=x_{0}+rv_{x}+sw_{x}\\ y=y_{0}+rv_{y}+sw_{y}\\ z=z_{0}+rv_{z}+sw_{z} \end{matrix}\right. , \text{ gdzie }r,s\in\mathbb{R}\text{.} $

Jest to tzw. równanie parametryczne płaszczyzny.

Przykład 1: Wyznaczanie równania płaszczyzny

Rozważmy trzy punkty: $ P_1(1,-1,2), P_2(-1,2,1), P_3(1,0,3) $. Ponieważ wektory $ \overrightarrow{P_1P_2}=(-2,3,-1) $ oraz $ \overrightarrow{P_1P_3}=(0,1,1) $ nie są równoległe (gdyż $ \overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}\neq\overrightarrow{0} $), zatem punkty $ P_1,P_2,P_3 $ wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę $ \pi $. Wyznaczymy teraz jej równania.

Ponieważ

$ \left \vert \begin{matrix}x-1 & y+1 & z-2\\ -1-1 & 2+1& 1-2\\1-1 & 0+1& 3-2\end{matrix} \right \vert =4x+2y-2z+2, $

zatem, na podstawie wzoru ( 2 ), równanie normalne płaszczyny $ \pi $ to

$ 4x+2y-2(z-1)=0; $

wektorem normalnym płaszczyzny $ \pi $ jest wektor

$ \overrightarrow{n}=(A,B,C)=(4,2,-2). $

Z postaci normalnej płaszczyzny $ \pi $ otrzymujemy natychmiast jej postać odcinkową

$ \frac{x}{-1/2} + \frac{y}{-1}+z=1. $

Aby wyznaczyć postać parametryczną płaszczyzny $ \pi $ wystarczy zauważyć, że wektory $ \overrightarrow{P_1P_2}=(-2,3,-1) $ oraz $ \overrightarrow{P_1P_3}=(0,1,1) $ są wektorami do niej równoległymi. Stąd oraz ze wzoru ( 4 ) wynika, że postać parametryczna płaszczyzny $ \pi $ to

$ \left\{\begin{array}{l} x=1-2r\\ y=-1+3r+s\\ z=2-r+s\end{array},\right. $

gdzie $ r,s\in\mathbb{R}. $

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka