Postać algebraiczna liczby zespolonej
Definicja 1: Postać algebraiczna liczby zespolonej
Niech \( z=(x,y) \), gdzie \( x,y\in\mathbb{R} \) będzie dowolną liczbą zespoloną. Zauważmy, że liczbę \( z \) możemy zapisać następująco:
Wówczas oznaczając \( x=(x,0) \), \( y=(y,0) \) oraz \( i=(0,1) \) otrzymujemy postać algebraiczną (Hamiltona, kanoniczną) liczby zespolonej \( z \)
Niech \( z=x+iy \) będzie liczbą zespoloną w postaci algebraicznej. Przypomnijmy, że liczbę \( x \) nazywamy częścią rzeczywistą liczby \( z \) i oznaczamy sybolem \( \mathfrak{Re}z \), zaś liczbę \( y \) nazywamy częścią urojoną liczby \( z \) i oznaczamy symbolem \( \mathfrak{Im}z \).
Przykład 1:
Niech \( z_{1}=(x_{1},y_{1}) \) oraz \( z_{2}=(x_{2},y_{2}) \) będą liczbami zespolonymi. Liczby \( z_{1} \) i \( z_{2} \), jako uporządkowane pary punktów, są równe wtedy i tylko wtedy, gdy \( x_{1}=x_{2} \) oraz \( y_{1}=y_{2} \). Stąd, zapisując liczby \( z_{1} \) i \( z_{2} \) w postaci algebraicznej jako \( z_{1}=x_{1}+iy_{1} \) oraz \( z_{2}=x_{2}+iy_{2} \) otrzymujemy, że \( z_{1}=z_{2} \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( \mathfrak{Re}z_{1}=\mathfrak{Re}z_{2} \) oraz \( \mathfrak{Im}z_{1}=\mathfrak{Im}z_{2} \).
Postać kanoniczna liczby zespolonej umożliwia dodawanie i mnożenie liczb zespolonych tak samo jak wielomianów, tzn. podobny do podobnego (dla dodawania) i każdy z każdym (dla mnożenia), w przypadku mnożenia pamiętając o warunku \( i^{2}=-1 \).
Przy dzieleniu przez liczbę zespoloną \( z=x+iy \) mnożymy dzielną i dzielnik przez \( x-iy \), otrzymując w mianowniku liczbę rzeczywistą.
Przykład 2:
Definicja 2: Sprzężenie liczby zespolonej
Twierdzenie 1: Własności sprzężenia liczb zespolonych
\( \begin{align*}&a) \quad \overline{z_{1}+z_{2}}=\bar{z_{1}}+\bar{z_{2}};&&b)\quad \overline{z_{1}-z_{2}}=\bar{z_{1}}-\bar{z_{2}};\\&c)\quad \overline{z_{1}\cdot z_{2}}=\bar{z_{1}}\cdot \bar{z_{2}};&&d)\quad \overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}=\frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}},\quad \textrm{dla} \quad z_{2} \neq \mathbf{0};\\&e) \quad \overline{(\overline{z})}=z;&&f) \quad z+\bar{z}=2\mathfrak{Re}z;\\&g) \quad z-\bar{z}=2i\mathfrak{Im}z.\end{align*} \)