Przekształcenie Laplace’a dystrybucji
Transformate Laplace'a określimy tylko dla pewnego podzbioru zbioru wszystkich dystrybucji. Mianowicie, oznaczmy przez \( \hskip 0.3pc D_0^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) zbiór dystrybucji skończonego rzędu takich, że \( \hskip 0.3pc T\in D_0^*(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje funkcja ciągła \( \hskip 0.3pc g:\mathbb R\to\mathbb R\hskip 0.3pc \) taka, że \( \hskip 0.3pc T\hskip 0.3pc \) jest pochodną dystrybucyjną skończonego rzędu z funkcji \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) (tzn. \( \hskip 0.3pc T=g^{(k)})\hskip 0.3pc \) a ponadto:
\( 1^0.\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc g(t)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t<0;\hskip 0.3pc \)
\( 2^0.\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) posiada transformatę Laplace'a.
gdzie \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) jest funkcją ciągłą taką, że \( \hskip 0.3pc T=g^{(k)},\hskip 0.3pc \) a ponadto \( \hskip 0.3pc g(t)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t<0.\hskip 0.3pc \)
ZAŁOŻENIA:
Załóżmy, że funkcja \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) posiada transformatę Laplace'a w sensie klasycznym .TEZA:
Wtedy \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) posiada również transformatę Laplace'a w sensie dystrybucyjnym i transformaty te są sobie równe.DOWÓD:
Niech \( \hskip 0.3pc F={\cal L}(f)\hskip 0.3pc \) będzie transformatą Laplacea funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) w sensie klasycznym. PołóżmyOczywiście \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) spełnia warunki \( \hskip 0.3pc 1^0\hskip 0.2pc \) i \( \hskip 0.2pc 2^0\hskip 0.3pc \) i ponadto \( \hskip 0.3pc g^\prime=f\hskip 0.3pc \) prawie wszędzie. Zgodnie z zależnością 6 z modułu "Podstawowe własności transformaty Laplace'a"
Stąd \( \hskip 0.3pc F(z)=z{\cal L}(g)(z).\hskip 0.3pc \)
Z drugiej strony, zgodnie z definicją 1, transformata z dystrybucji \( \hskip 0.3pc T_f\hskip 0.3pc \) ( \( T_f\hskip 0.3pc \)-dystrybucja generowana przez funkcję \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \)) wyraża się wzorem
Wyznaczmy teraz ponownie (zob. przykład 7 z modułu "Podstawowe własności transformaty Laplace'a" ) transformatę Laplace'a z dystrybucji \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.3pc \) korzystając z definicji 1.
Ponieważ \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.3pc \) jest dystrybucją 2-go rzędu \( \hskip 0.3pc \delta =h^{\prime\prime},\hskip 0.3pc \) gdzie
więc zgodnie z definicją 1 mamy
oraz
Ponieważ \( \hskip 0.3pc \delta^{(n)}=h^{(n+2)}\hskip 0.3pc \) zgodnie z definicją 1 mamy
oraz
Podobnie, ponieważ \( \hskip 0.3pc H(t-t_0)=h^\prime(t-t_0),\hskip 0.3pc \) mamy
Zauważmy też, iż po sprawdzeniu, że zależność 5 z modułu "Podstawowe własności transformaty Laplace'a" zachodzi dla pochodnych dystrybucyjnych, mamy następujący prosty rachunek
Z ostatniej równości wynika natychmiast znana zależność
Podobnie możemy pokazać, że