Równanie Poissona
Zauważmy, że funkcja \( \hskip 0.3pc \Phi\hskip 0.3pc \) dana wzorem
jest harmoniczna dla \( \hskip 0.3pc x\neq 0.\hskip 0.3pc \) Jeśli początek układu przesuniemy do punktu \( \hskip 0.3pc y,\hskip 0.3pc \) to funkcja \( \hskip 0.3pc x \mapsto \Phi(x-y)\hskip 0.3pc \) jest harmoniczna dla \( \hskip 0.3pc x\neq y.\hskip 0.3pc \) Zauważmy ponadto, że jeśli \( \hskip 0.3pc f:X\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją, to \( \hskip 0.3pc x \mapsto \Phi(x-y)f(y)\hskip 0.3pc \) jest również funkcją harmoniczna dla \( \hskip 0.3pc x\neq y\hskip 0.3pc \). Można by zatem oczekiwać, że funkcja
będzie rozwiązaniem równania Laplace'a
Okazuje się, że tak nie jest. Wynika to stąd, że funkcja \( \hskip 0.3pc x \mapsto \Phi (x-y)\hskip 0.3pc \) ma osobliwość w punkcie \( \hskip 0.3pc x=y,\hskip 0.3pc \) a zatem nie możemy z operacją różniczkowania wejść pod całkę. Pokażemy natomiast, że dla dostatecznie regularnej funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) wzór ( 2 ) określa rozwiązanie równania Poissona
ZAŁOŻENIA:
Załóżmy, że funkcja \( \hskip 0.3pc f \in C^2(\mathbb R^n)\hskip 0.3pc \) jest równa zeru poza pewną kulą (tzn. posiada nośnik zwarty). Niech \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) będzie dane wzorem ( 2 ).TEZA:
Wówczas:(i) \( \hskip 0.5pc u \in C^2( \mathbb R^n); \)
(ii) \( \hskip 0.5pc \Delta u + f=0\hskip 0.5pc \) w \( \hskip 0.5pc\mathbb R^n. \)DOWÓD:
Ad (i). Podstawiając \( \hskip 0.3pc z=x-y\hskip 0.3pc \) w całce ( 2 ) otrzymamy
Niech \( \hskip 0.3pc e_i =(0,\,\ldots ,\,1,\, \ldots, \,0)\hskip 0.3pc \) będzie wektorem którego \( \hskip 0.3pc i\hskip 0.1pc \)-ta składowa jest równa \( \hskip 0.3pc 1\hskip 0.3pc \) a pozostałe \( \hskip 0.3pc 0.\hskip 0.3pc \) Mamy
Ponieważ iloraz różnicowy pod całką jest zbieżny jednostajnie, możemy z \( \hskip 0.3pc h\hskip 0.3pc \) przejść do \( \hskip 0.3pc 0. \hskip 0.3pc \) Otrzymamy
Analogicznie dostaniemy
Wynika stąd, że \( \hskip 0.3pc u \in C^2( \mathbb R^n).\hskip 0.3pc \)
Ad (ii). Różniczkując wzór ( 5 ) mamy
gdzie
(Symbol \( \hskip 0.3pc \Delta_x\hskip 0.3pc \) oznacza laplasjan względem zmiennej \( \hskip 0.3pc x.\hskip 0.3pc \)) Ponieważ funkcja \( \hskip 0.3pc \Phi\hskip 0.3pc \) ma osobliwość w punkcie \( \hskip 0.3pc 0,\hskip 0.3pc \) szacujemy całkę ( 5 ) w obszarach \( \hskip 0.3pc B(0,\, \varepsilon)\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc\mathbb R^n \setminus B(0,\,\varepsilon).\hskip 0.3pc \)
Nietrudno sprawdzić, że
gdzie \( \hskip 0.3pc C \hskip 0.3pc \) jest stosownie dobraną stałą. Wynika stąd, że \( \hskip 0.3pc I_1 \to 0\hskip 0.3pc \) gdy \( \hskip 0.3pc \varepsilon \to 0.\hskip 0.3pc \)
Przed przystąpieniem do szacowania całki \( \hskip 0.3pc I_2\hskip 0.3pc \) przypomnijmy dwa użyteczne w dalszym ciągu wzory:
gdzie symbol \( \hskip 0.3pc \cdot \hskip 0.3pc \) oznacza iloczyn skalarny, a \( \hskip 0.3pc
\nu\hskip 0.3pc \) wektor normalny do powierzchni całkowania.
Całkując \( \hskip 0.3pc I_2\hskip 0.3pc \) przez części (zob. wzór 6 z modułu "Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena"), otrzymany
Połóżmy
Oszacujemy teraz całki \( \hskip 0.3pc J_1 \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc J_2. \hskip 0.3pc \) Nietrudno sprawdzić, że
gdzie \( \hskip 0.3pc C \hskip 0.3pc \) jest stosownie dobraną stałą. Wynika stąd, że \( \hskip 0.3pc J_1 \to 0\hskip 0.3pc \) gdy \( \hskip 0.3pc \varepsilon \to 0.\hskip 0.3pc \)
Stosując w całce \( \hskip 0.3pc J_2 \hskip 0.3pc \) wzór Greena, a nastepnie fakt, że \( \hskip 0.3pc \Delta \Phi (z)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc z
\neq 0,\hskip 0.3pc \) otrzymujemy
Zauważmy, że na sferze \( \hskip 0.3pc B(0,\,\varepsilon )\hskip 0.3pc \) wektor normalny \( \hskip 0.3pc \nu=\dfrac{z}{\|z\|}= \dfrac {z}{\varepsilon}\hskip 0.3pc \), zatem
Wynika stąd, że
Rozwiązanie podstawowe równania przewodnictwa cieplnego.
Równanie przewodnictwa cieplnego, zwane też równaniem dyfuzji, opisuje w jaki sposób zmienia się w czasie gęstość pewnej wielkości, np. temperatury, stężenia chemicznego czy potencjału elektrycznego. Przykłady zjawisk które możemy opisać tego typu równaniem zostały podane w module "Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych cząstkowych".
Rozważmy przypadek jednorodnego równania przewodnictwa cieplnego
gdzie \( \hskip 0.3pc u:\,\mathbb R^n\times R \to \mathbb R\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc t>0\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc x=(x_1,\, \ldots ,\, x_n)\in\mathbb R^n,\hskip 0.3pc \) a symbol \( \hskip 0.3pc \Delta =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\partial ^2}{\partial x_i^2}\hskip 0.3pc \) oznacza operator Laplace'a.
Chociaż zaproponowaną poniżej metodę można bez żadnych istotnych zmian stosować dla dowolnego \( \hskip 0.3pc n\geq 1,\hskip 0.3pc \) dla uproszczenia zapisu ograniczymy się do \( \hskip 0.3pc n=1,\hskip 0.3pc \) czyli do równania
Zauważmy, że jeśli funkcja \( \hskip 0.3pc u=u(x,t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 8 ), to również funkcja \( \hskip 0.3pc u=u(\lambda x,\,\lambda^2t),\hskip 0.3pc \) dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \lambda \in \mathbb R,\hskip 0.3pc \) jest również rozwiązaniem równania ( 8 ). Nasuwa się stąd pomysł, aby szukać rozwiązań wzdłuż krzywych \( \hskip 0.3pc \{\big(\lambda x,\,\lambda^2t\big):\hskip 0.2pc \lambda \in\mathbb R\},\hskip 0.3pc \) tzn. krzywych wyznaczonych przez stosunek \( \hskip 0.3pc\dfrac{ (\lambda x)^2}{\lambda ^2t},\hskip 0.3pc \) czyli rozwiązań postaci
Prosty rachunek daje
Podstawiając uzyskane wielkości do równania ( 8 ) otrzymamy
a kładąc \( \hskip 0.3pc z=\dfrac {x^2}{t}\hskip 0.3pc \) mamy
Rozwiązując ostatnie równanie dostajemy
Zatem funkcja
gdzie \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc B\hskip 0.3pc \) są dowolnymi stałymi, jest rozwiązaniem równania ( 8 ) dla \( \hskip 0.3pc x \in \mathbb R\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc t>0\hskip 0.3pc \).
Rozwiązanie to ma dość niewygodną postać całkową. Różniczkując funkcje ( 9 ) względem zmiennej \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) otrzymamy
Oczywiście tak uzyskana funkcja jest również rozwiązaniem równania ( 8 ) w zbiorze \( \hskip 0.3pc D=\{(x,t):\,\, x \in \mathbb R,\hskip 0.3pc t>0\}\hskip 0.3pc \). Wygodnie jest - co będzie widać z dalszych rozważań - przyjąc \( \hskip 0.3pc A= \dfrac 1{4\sqrt{\pi}}\hskip 0.3pc \) (Przy tak ustalonej stałej \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) otrzymamy rozwiązanie z którego całka jest równa \( \hskip 0.3pc 1\hskip 0.3pc \)).
Funkcję
nazywamy rozwiązaniem podstawowym równania ( 8 ). Zauważmy, że dla \( \hskip 0.3pc t=0\hskip 0.3pc \) funkcja \( \hskip 0.3pc \Phi\hskip 0.3pc \) ma osobliwość.
Dla \( \hskip 0.3pc n\geq 2\hskip 0.3pc \) przez rozwiązanie podstawowe równania ( 7 ) rozumiemy funkcję
gdzie \( \hskip 0.3pc \|x\|=\sqrt{x_1^2+ \ldots +x_n^2}.\hskip 0.3pc \)