Zaokrąglanie liczb polega na odcięciu z końca danej liczby cyfr, które przekraczają dokładność jej wyznaczenia. Przy zaokraglaniu liczb zastosowanie mają następujące reguły:

Jeżeli pierwsza z wykreślanych liczb jest mniejsza niż pięć, wówczas ostatnia cyfra pozostająca nie zmienia się,
W przypadku gdy pierwsza z wykreślanych cyfr jest równa pięć, liczbę zaokrągla się do najbliższej parzystej,
Jeśli pierwsza z wykreślanych liczb jest większa od pięciu, ostatnia cyfra pozostająca zwiększana jest o jedność.

Przykład 1: Zaokrąglanie liczb

Rozważmy zaokraglanie liczby Avogadra \( N_A \approx 6.022140857\cdot10^{23}\text{ mol}^{-1} \) do odpowiedniej ilości cyfr znaczących:

Dziewięć cyfr znaczących:
\( N_A\approx\underline{6.02214085}7\cdot10^{23}\text{ mol}^{-1}\approx 6.02214086\cdot10^{23}\text{ mol}^{-1} \)

Ponieważ pierwszą cyfrą wykreślaną jest siedem, zgodnie z drugą z reguł zaokrąglania, ostatnia cyfra pozostająca ( \( 5 \)) musi zostać zwiększona o jedność ( \( 5+1=6 \)).

Osiem cyfr znaczących:
\( N_A\approx\underline{6.0221408}57\cdot10^{23}\text{ mol}^{-1}\approx 6.0221408\cdot10^{23}\text{ mol}^{-1} \)

W tym przypadku odcinane są dwie cyfry, z których pierwsza to \( 5 \). Zgodnie ze wspomnianymi zasadami liczbę należy zaokrąglić do najbliższej parzystej.

Cztery cyfry znaczące:
\( N_A\approx\underline{6.022}140857\cdot10^{23}\text{ mol}^{-1}\approx 6.022\cdot10^{23}\text{ mol}^{-1} \)

Pierwszą cyfrą wykreślaną jest jeden, a więc cyfra mniejsza od pięciu, w związku z tym ostatnia cyfra pozostająca (dwójka) nie zmienia się.

Zaokrąglanie liczb przy dodawaniu i odejmowaniu

Zasada 1: Zaokrąglanie liczb przy dodawaniu i odejmowaniu

W przypadku dodawania lub odejmowania liczb o różnej dokładności (różnej ilości miejsc dziesiętnych) liczby zaokrągla się do równej ilości cyfr znajdujących się po przecinku dziesiętnym, przy czym ilość ta nie może być większa niż ilość miejsc dziesiętnych w najmniej dokładnej spośród liczb, na których przeprowadza się operację dodawania lub odejmowania.

Przykład 2: Zaokrąglanie liczb przy dodawaniu i odejmowaniu

Dodaj poniższe liczby:

\( 0.5753 \\2.11 \\6.238 \)

Spośród dodawanych liczb \( 2.11 \) posiada najmniejszą ilość cyfr dziesiętnych, w związku z tym pozostałe liczby należy zaokrąglić do drugiego miejsca po przecinku zgodnie z zasadami zaokrąglania liczb:

\( 0.5753\approx0.58 \\6.238\approx6.24 \)

Ostatecznie, suma rozważanych liczb to:

\( 0.58+2.11+6.24=8.93 \)

Propagacja błędu przy dodawaniu i odejmowaniu liczb

Przykład 3: Przenoszenie się błędu przy dodawaniu i odejmowaniu liczb

Rozważmy sytuację, gdzie w celu pobrania \( 270\text{ cm}^3 \) cieczy użyto cylindra miarowego o pojemności \( 100\text{ cm}^3 \). Załóżmy, że z cylindra skorzystano trzy razy, każdorazowo odmierzając \( (90\pm1)\text{ cm}^3 \).

Każde z odmierzeń cieczy obarczone było pewnym błędem w stosunku do wartości oczekiwanej \( 90\text{ cm}^3 \), np. podczas pierwszego odmierzania w cylindrze znajdowało się \( 89\text{ cm}^3 \), za drugim i trzecim razem odmierzono po \( 91\text{ cm}^3 \) cieczy, a więc każda dodana objętość cieczy powodowała wprowadzenie do wyniku końcowego pewnego błędu, z którym została ona wyznaczona powodując jego kumulację. W związku z tym, błąd dla wyniku sumowania danej wielkości musi być równy sumie błędów bezwzględnych składników sumy.
W rozważanym przykładzie:

\( V=89\text{ cm}^3+91\text{ cm}^3+91\text{ cm}^3=271\text{ cm}^3 \\ \Delta V=1\text{ cm}^3+1\text{ cm}^3+1\text{ cm}^3 \)

Ostatecznie należy zapisać:

\( V=(271\pm3)\text{ cm}^3 \)

Zasada 2: Przenoszenie się (propagacja) błędu przy dodawaniu i odejmowaniu

Błędy bezwzględne oznaczenia składników sumy lub różnicy wielkości dodają się.

Zaokraglanie liczb przy mnożeniu i dzieleniu

Zasada 3: Zaokraglanie liczb przy mnożeniu i dzieleniu

Wynik mnożenia lub dzielenia liczb o różnych dokładnościach zaokrągla się do miejsca dziesiętnego takiego jak w czynniku danego działania o największym błędzie względnym.

Przykład 4: Zaokraglanie liczb przy mnożeniu i dzieleniu

Oblicz liczbę moli Cu w próbce czystej miedzi o masie \( (20.05\pm0.01)\text{ g} \). Masa molowa miedzi to \( (63.546\pm0.003)\text{ g}\cdot \text{mol}^{-1} \).

Dane w tym przykładzie sugerują, że błąd bezwzględny oznaczenia masy próbki miedzi wynosi \( \pm0.01\text{ g} \), natomiast dla masy molowej jest równy \( \pm0.003\text{ g} \). Obliczmy wartości błędu względnego dla obydwu wartości liczbowych.

Dla masy próbki:

\( \displaystyle \delta_{m_p}=\frac{\epsilon_{m_p}}{m_p}=\frac{0.01\text{ g}}{20.05\text{ g}}\approx0.0005 \)

Dla masy molowej:

\( \displaystyle \delta_{M_{Cu}}=\frac{\epsilon_{M_{Cu}}}{M_{Cu}}=\frac{0.003\text{ g}}{63.546\text{ g}}\approx0.00005 \)

Jak można zauważyć błąd względny dla masy próbki jest większy od jego wartości dla masy molowej miedzi, co powoduje, że czynnikiem o największym błędzie względnym dla danego działania jest wartość liczbowa masy próbki, a więc wynik dzielenia musi zostać zaokrąglony dodrugiego miejsca dziesiętnego (w wyniku pominięto wartość błędu! [zob. Przykład 5: Propagacja błędu przy mnożeniu lub dzieleniu]):

\( \displaystyle n_{Cu}=\frac{m_p}{M_{Cu}}=\frac{20.05\text{ g}}{63.546\text{ g}\cdot{\text{mol}^{-1}}}\approx0.32\text{ mola} \)

Przenoszenie się błędu przy mnożeniu i dzieleniu liczb

Zasada 4: Propagacja błędu przy mnożeniu lub dzieleniu

Błędy względne mnożonych lub dzielonych wielkości liczbowych dodają się.

Wyprowadzenie 1: Sumowanie błędów względnych przy mnożeniu liczb

Niech \( z=xy \)oraz przyjmijmy, że \( \Delta{x} \), \( \Delta{y} \), \( \Delta{z} \) są błędami bezwzględnymi odpowiednio dla \( x \), \( y \) i \( z \).

Można zapisać:

\( z\pm{\Delta{z}}=(x\pm{\Delta{x}})(y\pm{\Delta{y}})=xy\pm x\Delta{y}\pm y\Delta{x}\pm \Delta{x}\Delta{y} \)

Ponieważ \( z=xy \) oraz przyjmując, że wartość ostatniego członu \( \Delta{x}\Delta{y} \) powyższego równania jest bardzo mała:

\( z\pm{\Delta{z}}=z\pm x\Delta{y}\pm y\Delta{x} \)

\( z-z\pm{\Delta{z}}=\pm x\Delta{y}\pm y\Delta{x} \)

\( \pm{\Delta{z}}=\pm x\Delta{y}\pm y\Delta{x} \)

Dzieląc obustronnie powyższe równanie przez iloczyn \( xy \):

\( \displaystyle \pm \frac{\Delta{z}}{xy}=\pm \frac{\Delta{y}}{y}\pm \frac{\Delta{x}}{x} \)

Ponieważ \( z=xy \), ostatecznie otrzymujemy wyrażenie na błąd względny dla iloczynu dwóch liczb:

(1)

\( \displaystyle \frac{\Delta{z}}{z}=\frac{\Delta{x}}{x}+\frac{\Delta{y}}{y} \)

Wyprowadzenie 2: Sumowanie błędów względnych przy dzieleniu liczb

Niech \( \displaystyle z=\frac{x}{y} \) oraz przyjmijmy, że \( \Delta{x} \), \( \Delta{y} \), \( \Delta{z} \) są błędami bezwzględnymi odpowiednio dla \( x \), \( y \) i \( z \).

Można zapisać:

\( \displaystyle z\pm{\Delta{z}}=\frac{x\pm{\Delta{x}}}{y\pm{\Delta{y}}}=\frac{x}{y}\Big(1\pm \frac{\Delta{x}}{x}\Big)\Big(1\pm \frac{\Delta{y}}{y}\Big)^{-1} \)

Po usunięciu składników w wyższych potęgach z szeregu potęgowego przybliżającego \( \displaystyle \Big(1\pm \frac{\Delta{y}}{y}\Big)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\Big(\frac{\Delta{y}}{y}\Big)^{n} \):

\( \displaystyle z\pm{\Delta{z}}=\frac{x}{y}\Big(1\pm \frac{\Delta{x}}{x} \pm \frac{\Delta{y}}{y} \pm \frac{\Delta{x}\Delta{y}}{xy}\Big) \)

Przyjmując, że wartość \( \displaystyle \frac{\Delta{x}\Delta{y}}{xy} \) w powyższym równaniu jest bardzo mała:

\( \displaystyle z\pm{\Delta{z}}=\frac{x}{y}\Big(1\pm \frac{\Delta{x}}{x} \pm \frac{\Delta{y}}{y}\Big) \)

Po wykonaniu mnożenia i uporządkowaniu:

\( \displaystyle \pm{\Delta{z}}=\pm \frac{\Delta{x}}{y} \pm \frac{x\Delta{y}}{y^2} \)

Ostateczną postać wyrażenia na błąd względny ilorazu dwóch liczb otrzymamy po podzieleniu obydwu stron powyższego równania przez \( \frac{x}{y} \):

(2)

\( \displaystyle \frac{\Delta{z}}{z}=\frac{\Delta{x}}{x}+\frac{\Delta{y}}{y} \)

Przykład 5: Propagacja błędu przy mnożeniu lub dzieleniu

Obliczmy wartość błędu dla działania przedstawionego w Przykładzie 4.

Zgodnie z Zasadą o propagacji błędu przy mnożeniu lub dzieleniu oraz rówaniem ( 2 ):

\( \displaystyle \delta_{n_{Cu}}=\frac{\epsilon_{n_{Cu}}}{n_{Cu}}=\frac{\epsilon_{m_p}}{m_p}+\frac{\epsilon_{M_{Cu}}}{M_{Cu}}=\frac{0.01\text{ g}}{20.05\text{ g}}+\frac{0.003\text{ g}}{63.546\text{ g}}\approx0.00055 \)

Obliczmy błąd bezwzględny dla ilości moli miedzi w próbce \( n_{Cu} \):

\( \displaystyle \epsilon_{n_{Cu}}=\delta_{n_{Cu}}\cdot {n_{Cu}}=\frac{20.05\text{ g}}{63.546\text{ g} \cdot \text{mol}^{-1}}\Big(\frac{0.01\text{ g}}{20.05\text{ g}}+\frac{0.003\text{ g}}{63.546\text{ g}}\Big)\approx0.0002\text{ mola} \)

Moduł opracowano na podstawie [1], [2].

Bibliografia

1. A. Śliwa (Red.): Obliczenia chemiczne. Zbiór zadań z chemii nieorganicznej i analitycznej wraz z podstawami teoretycznymi, Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, Poznań 1976
2. H. Całus: Podstawy obliczeń chemicznych, WNT Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1975

Link

Temat:
Opis:
Typ:

Email: